①若p真q假， ∴
，∴m≥3．
②若p假q真， ∴
，∴1＜m≤2．
综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．
18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2 则：所以：
，
．
且满足：f（2）=aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2． 解得：a=2，b=1．
（2）由（1）得：f（x）=2lnx﹣x2， 令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m， 则：
=
，
令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）． 在[
]内，当x∈
时，h′（x）＞0，
所以：h（x）是增函数；
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当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．
则：方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，
解不等式得：
．
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 公式和临界值表参考第20题
25周岁以上组 生产能手 15 非生产能手 45 合计 60 第17页（共21页）
25周岁以下组 合计 15 30 25 70 40 100 【解答】解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B1，B2；
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）， 其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）， 故所求的概率P=
．
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.05=3（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.05=2（人）， 据此可得2×2列联表如下：
25周岁以上组 25周岁以下组 合计 ∴K2=
生产能手 15 15 30 =
非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100 ≈1.79＜2.706，
∴没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
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20．（12分）如图所示，F1，F2分别为椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦
点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4． （1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
【解答】解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点代入椭圆方程得 ，得b2=3
∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1， 故椭圆方程为
，
焦点F1、F2的坐标分别为（﹣1，0）和（1，0）． （2）由（1）知∴
，∴PQ所在直线方程为
，
，
由得
设P （x1，y1），Q （x2，y2），则∴∴
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，
， ．
21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）令h（x）=2x2+ax﹣1， 有得得
， （6分）
=
在[1，2]上恒成立，
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，（7分）
当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，∴g（x）无最小值． 当∴当
时，g（x）在
上单调递减，在，a=e2，满足条件．（11分）
时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，
上单调递增
（舍去），
（舍去），
∴f（x）无最小值．（13分）
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
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（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值． 【解答】解：（1）圆C的参数方程为
所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），
x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4， 化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分） （2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为
（10分）
（7分）
（θ为参数）
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