西北工业大学明德学院本科毕业设计论文
图2-5 系统零极点图
2.5 系统的可控性和可观性分析
一级倒立摆系统是否能够实现最优控制，基本条件之一就是系统的状态必须是完全能控和能观测的。 1. 可控性判据
因一级倒立摆系统在平衡点处经线性化处理成为线性系统，所以线性化后的系统具有线性系统的特性。
线性定常系统的可控性判据：
考虑线性定常系统的状态方程 x'=Ax+Bx,x(0)=x0,t>=0矩阵A.B确定系统的可控性判据。
n?1 如果Qc=[B,AB,? AB] , rank(Qc)=n(n为系数矩阵的维数) 则系统可
控；如rank(Qc) 对于一级倒立摆系统rank(Qc)=4=n ,所以一级倒立摆线性系统完全可控。 2. 可观测性判据 考虑线性定常系统X’=AX，y=CX，X(t0)=X0,t>=0矩阵 A,C 确定系统可观测性判据。 ?CT,ATCT,??An?1?TCT????，如Qt=?rank(Qt)=n,系统可观测；rank(Qt) T观测。 对于一级倒立摆系统rank(Qt)=4=n,所以一级倒立摆系统完全可观测。 综上，一级倒立摆系统是一个不稳定，可控可观测的系统。通过对它特性的掌握，我们就能够更好的以及采用多种方法来控制它，使其达到预期的控制效果。 - 18 - 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 第三章 模糊逻辑控制基本知识 3.1 模糊集合论基础 3.1.1 模糊集合的定义及表示方法 1. 定义 定义1:集合是指在一定场合下,所研究的、具有某种特定属性对象的全体。 定义2:所谓论域U中的一个模糊集合F，是指对于任意的μ∈ U，指定了的一个数μF( μ)∈[0，1]，称为μ对F的隶属程度，映射μF称为F的隶属函数。 ?F: U?[0,1] ?F(?) ?F(?)=1 ?完全属于F ?F???=0 ?完全不属于F ?不完全不属于F 1??F????0其中：论域U 为一个可能是离散或连续的集合。 2. 模糊集合的表示方法: 模糊集合有很多种表示方法，最根本是要将它所包含的元素及相应的隶属度函数表示出来。因此它可用如下的序偶形式来表示: A={(x , μA(x)) | x ∈X } (3-1) 也可以表示成如下更紧凑的形式 ??A?x???xx? A=i?0xi3.1.2 模糊集合的运算 1. 模糊集合的基本运算 (1) 模糊集合相等 若有两个模糊集合A和B,对于所有的x∈X,均有μA(x)＝ μB(x)，则称模糊集合A与模糊集合B相等，记作A = B。 (2) 模糊集合的包含关系 - 19 - ?n?A?x? x连续 (3-2) 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 若有两个模糊集合A和B, 对于所有的x∈X,均有μA(x)≤ μB(x)，则称A包含于B或A是B的子集,记作A?B。 (3) 模糊空集 若对所有x∈X，均有μA(x)＝0，则称A为模糊空集，记作A=?. (4) 模糊集合的并集 若有三个模糊集合A、B和C ,对于所有的x∈X，均有 ?c?x???A?x???B?x??max???A?x?,?B?x?则称C为A与B的并集，记作C＝A∪B。 (5) 模糊集合的交集 ? (3-3) 若有三个模糊集合A、B和C,对于所有的x∈X，均有 ?c?x???A?x???B?x??min???A?x?,?B?x?? (3-4) 则称C为A与B的并集，记作C＝A∩B。 (6) 模糊集合的补集 若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈X，均有 ?B?x??=1- ?A?x? (3-5) 则称B为A的补集，记为B=1-A。 (7) 模糊集合的直积(Cartesian product)。 若有两个模糊集合A和B，其论域分别为X和Y，则定义在空间X × Y上的模糊集合A × B为A和B的直积，其隶属度函数为 ??x,y??min????x?,??x??? (3-6) A?BAB?x,y????x???x??或者 (3-7) A?BAB2. 模糊集合运算的基本性质 (1) 分配律 A??B?C???A?B???A?C? (3-8) (3-9) (2) 结合律 A??B?C???A?B???A?C??A?B??C?A??B?C? (3-10) ?A?B??C?A??B?C? (3-11) - 20 - 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 (3) 交换律 A A?B?B? A (3-12) A?B?B? (4) 幂等律 A?A?A A?A?A (3-13) (5) 同一律 A?X?X A?X?X (3-14) A???A A???? 其中X表示论域全集，?表示空集。 (6) 达·摩根律 ?A?B??A?B ?A?B??A?B 7. 双重否定 A=A 3. 模糊集合的其它类型运算 在模糊集合的运算中，还常常用到其它类型的运算，主要有一下几种： (1) 代数和 若有三个模糊集合A、B和C ,对于所有x∈X ，均有 ?C?x???A?x???B?x???A?x??B?x? ?则称C为A和B的代数和，记为C=A?B。上述说明也可简单表达为 ?A?B??A??B?x?=μC(x)=μA(x)＋μB(x)－μA(x) μB(x) (2) 代数积 A·B?μA。B(x)= μA(x) μB(x) (3) 有界和 A⊕B??A?B?x?= min{1, μA(x)＋μB(x)} (4) 有界差 A?B?μA ?B(x)=max{0, μA(x)- μB(x)} (5) 有界积 A⊙B?μA⊙B(x)＝max{0, μA(x)+ μB(x)-1} - 21 - (3-15) (3-16) (3-17) (3-18) (3-20) (3-22) (3-23) (3-19) (3-21)西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 3.1.3 模糊关系 1. 模糊关系的定义及表示 关系：客观事物间存在的某种联系。 两个客体之间存在的关系，称为二元关系，三个以上客体之间关系，成为多元关系。 定义3：n 元模糊关系R是定义在直积X1×X2×…×Xn上的模糊集合，它可表示为 Rx1?x2?x3????x1,x2,?,xn?,?R?x1,x2,?,xn???x1,x2,?,xn??X1?X2???Xn??RX1?X2??Xn???x1,x2,?,xn??x1,x2,?,xn?(3-24) 模糊关系可以用矩阵加以描述： 当X ={x1,x2,…xn},y={y1,y2,…..yn}是有限集合时，定义在X和Y上的模糊关系Q可用如下的m×n阶矩阵来表示。 ??R?x1,y1?,?R?x1,y2?,??R?x1,ym?????x2,y1?,??x2,y2?,???x2,ym??RR?Q??R????????????xn,y1,?xn,y2??xn,ymRR?R? (3-25) 这样的矩阵称为模糊矩阵，由于其元素均为隶属度函数，因此它们均在[0，1]取值。 2. 模糊关系的合成 设X、Y、Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y到Z的一个模糊 关系，则R到S的合成T也是一个模糊关系，记为T=R?S,它具有隶属度 (3-26) 其中∨是并的符号，它表示对所有y取极大值或上界值，“*”是二项积的符号， y?Y?R?S?x,z?????R?x,y?*?S?y,z??因此上面的合成为最大—星合成(max-star composition)。其中二项积算子“*”可以定义为以下几种运算，其中x,y∈[0,1] 交 x?y=min{x,y} (3-28) 代数积 x?y=xy (3-29) 有界积 x?y=max{0,x+y-1} (3-30) 若二项积采用求交运算，则 R?s??R?S?x,z???y?Y??R?x,y???S?y,z?? (3-31) 这时称为最大－最小合成(max-min composition)。 r??若设 R= ijn?ms?? S= jkm?l T= ?tik?n?l (3-32) - 22 -