在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA， ∴sinP==， ∴∠P=30°． ∴∠AOP=60°． ∵OC=OA， ∴∠ACO=60°． 在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°， ∴AC==2， 又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°， ∴CD===4． 点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值． 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2． （1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点：扇 形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质 分析：（ 1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案； （2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可． 解答：解 ；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2， ∴AB=AE=4， ∴DE=∴EC=CD﹣DE=4﹣2=2， ； （2）∵sin∠DEA==， ∴∠DEA=30°， ∴∠EAB=30°， ∴图中阴影部分的面积为： S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB ==﹣2﹣×2×2． ﹣ 点评：此 题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．
11.如图12，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B. (1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5 ，BD=2，求线段AE的长.
解：（1）证明：连结OD，OD=OB，∠ODB=∠B，
∠ADC=∠B，∠ODB=∠ADC； ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90 o，
∠ADO+∠ADC =90 o，∠ODC=90 o，OD⊥CD， ∴直线CD是⊙O的切线。
（2）AB=5 ，BD=2，DA=AB2-BD2 =1,
∵AE⊥AB，∠EAB=∠ADB=90 o，∠B=∠B，△EAB∽△ADB， AEABAB·DA5 = , AE= = . DADBDB25答：线段AE的长为 。
2
12.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C． （1）证明PA是⊙O的切线； （2）求点B的坐标； （3）求直线AB的解析式．
【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2）， ∴AP∥x轴 ．
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D， ∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC， 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC． ∴△OBC≌△PEC． ∴OC=PC．
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC=CE+PE， ∴x=(4－x)+2，解得x=
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5，???????? 4分 253=， 221113156∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=． 2222225∴BC=CE=4－
∴OD=OB2?BD2=4?由点B在第四象限可知B（
368=， 25586，?）； 55
解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D， ∵PB切⊙O于点B
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC． 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC， ∴△OBC≌△PEC．
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC=CE＋PE, ∴x=(4－x)+2，解得x=∴BC=CE=4－
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5，???????????? 4分 253=， 22∵BD∥x轴， ∴∠COB=∠OBD， 又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴
OBCBOC==， BDODBO352即=2=2． BDBD286∴BD=，OD=．
55由点B在第四象限可知B（
86，?）； 55（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
?b?2,86?由A（0，2），B（，?），可得?86；
55k?b???5?5解得??b?2,∴直线AB的解析式为y=－2x+2．
?k??2,【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．
【解题思路】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式． 【解答过程】 略.
【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.
【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式
13.（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线；