（2）求∠B的度数．
考点： 切线的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC， 由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可． 解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB与⊙切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC， 在△ABC和△CBO中 ， ∴△ABC≌△CBO， ∴∠BOC=∠OAC=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； （2）解：∵△ABC≌△CBO， ∴∠AOB=∠COB， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC，CB=CD， ∴点O在BD上， ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．
14..如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线； （2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF﹣GB=DF?GF． 圆的综合题 几何综合题． （1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r； （3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG，然后代入等式左边整理即可得证． （1）证明：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵OA⊥CD， ∴∠OAB+∠AGC=90°， 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC， ∴∠FBG+∠OBA=90°， 即∠OBF=90°， ∴OB⊥FB， ∵AB是⊙O的弦， ∴点B在⊙O上， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵AC∥BF， ∴∠ACF=∠F， 22
2
∵CD=a，OA⊥CD， ∴CE=CD=a， ∵tan∠F=， ∴tan∠ACF=即=， =， 解得AE=a， 连接OC，设圆的半径为r，则OE=r﹣a， 在Rt△OCE中，CE+OE=OC， 即（a）+（r﹣a）=r， 解得r=a； 222222 （3）证明：连接BD， ∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证）， ∴∠DBG=∠F， 又∵∠F=∠F， ∴△BDG∽△FBG， ∴=2， 即GB=DG?GF， 222∴GF﹣GB=GF﹣DG?GF=GF（GF﹣DG）=GF?DF， 22即GF﹣GB=DF?GF． 本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关键．
15.（2013?天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
考点：切 线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 分析：（ Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案． 解答：解 ：（Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°． 点评：此 题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
E是边BCRt△ABC中，?ABC?90°，16.如图，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，
的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
C （2）连接OC交DE于点F，若OF?CF，求tan?ACO的值．
D F E
证明：（1）连接OD、OE、BD． A B
O ?AB是⊙O的直径，??CDB??ADB?90°，
?E点是BC的中点，?DE?CE?BE． ?OD?OB，OE?OE，△?ODE≌△OBE． ??ODE??OBE?90°，?直线DE是⊙O的切线． （2）作OH⊥AC于点H，
C 由（1）知，BD⊥AC，EC?EB．
1AC． 2??CDF??OEF，?DCF??EOF．
?CF?OF，?△DCF≌△EOF，?DC?OE?AD． ?BA?BC，??A?45°． ?OH⊥AD，?OH?AH?DH．
OH1?CH?3OH，?tan?ACO??．
CH3?OA?OB，?OE∥AC，且OE?
D F H A
O
E
B
17.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD. （1）如图5-1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（6分）
（2）如图5-2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数. （2分）