证明：连接OE，AM是⊙O的切线，OA是⊙O的半径
∴?DAO?90° ∵AD∥BC
∴?AOD??OBE，?DOE??OEB ∵OB?OE ∴?OEB??OBE 在△AOD和△DOE中
?OA?OE???AOD??DOE ?OD?OD?∴△AOD≌△DOE
∴?DAO??DEO?90° ∴DE与⊙O相切 ······················· （3分） （2）∵AM和BN是⊙O的两切线 ∴MA?AB，NB?AB ∴AD∥BC
∵O是AB的中点，OF∥BN
11(AD?BC)且OF?(AD?BC) 22∵DE切⊙O于点E ∴DA?DE，CB?CE ∴DC?AD?CB
1 ∴OF?CD?ADE??CBF ················ （4分）
2∴OF∥
如图，△ABC中，以AB为直径的eO交AC于点D，
∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC是eO的切线；
（2）若eO的半径为2，∠BAC＝30°， 求图中阴影部分的面积．
（1）证明： ?AB为eO直径，??ADB?90? ， ········· 1分 ??BAC??ABD?90? ， ················· 2分 ??DBC??BAC
??ABC=? ABD+?DBC=90?， ················ 3分 ?点B在eO上，? BC是eO的切线. ··········· 4分 （2）解：连接OD，??BAC?30o，则∠BOD＝2∠A=60°， ··· 5分 ?S阴=S扇?S?OBD ····················· 6分 ?602??4?3???3. 36032 ?阴影部分的面积为??3. ··············· 8分
3
24.如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥
MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OD． ∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA ????????.1分 ∵∠OAD=∠DAE
∴∠ODA=∠DAE ????????..2分 ∴DO∥MN ???????????3分 ∵DE⊥MN
∴∠ODE=∠DEM =90°
即OD⊥DE ???????????4分 ∴DE是⊙O的切线 ??????? 5分 （2）解：连接CD．
∵∠AED=90°，DE=6，AE=3
C D O M E A B N ∴AD=35 ?????????????????????????????...6分 ∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=∠AED =90° ?????????????????????????..7分 ∵∠CAD=∠DAE
∴△ACD∽△ADE ???????????????????????????..8分 ∴
35ACADAC? 即 ?3AEAD35则AC=15 ????????????????????????????...9分
∴⊙O的半径是7.5cm． ?????????????????????????10分
25.（2013福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求
的长．
考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形． 分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；
其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=最后，由弧长公式l=
=
； 计算
的长．
解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=，
222
∴ME+AE=AM=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON． 在Rt△AEM中，sinA=∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴
=
，EN=EM=1，
=，
∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt△OEN中，sin∠EON=∴ON=∴
=
， ?
=
．
，
的长度是：
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．