∵ OE⊥AC，∴AE=
图5-1
图5-2
（1） 过点O作AC的垂线交AC于E、交劣弧于F，由题意可知，OE=EF， ··········· 1分
1AC，································ 3分 2222在Rt△AOE中，AO?OE?AE，··························· 4分
12232∴r?1?(r)，∴r=. ······························ 6分
23（2）∠DCA=40°.
18.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若?BAC直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
CAM，过点C作直线l垂
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且?CAB?30°. 求CE的长．
（1）解：直线CD与⊙O相切. ??????1分 理由如下：连接OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM ∴OC∥AM??????????3分 ∵CD⊥AM
E B O A
C
M D l E B O C M D l A
∴OC⊥CD ∴直线CD与⊙O相切. ??????????5分 （2）解： ∵?CAB?30° ∴∠COE=2∠CAB=60?
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60?=33.??????????8分
o19.如图，在△ABC中，∠ACB=90， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2. （1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留?和根号）.
COEBDA(1)证明：连接OD. ??(1分) ∵AB与⊙O相切于点D , ∴?ODB?90o，∴?B??DOB?90o. ∵?ACB?90o,∴?A??B?90o,∴?A??DOB ??(3分) ∵OC=OD, ∴?DOB?2?DCB.∴?A?2?DCB ??(4分) (2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE
OD1? OB2 ∴?B?30o,?DOB?60o ??6分
o∵ BD?OB?sin60?23 ∴ sin?B? ∴S?DOB? S扇形ODE11OD?DB??2?23?23 ??????(7分) 2260??OD22???
36032 ??????(9分)
?23??3S阴影=S?DOB?S扇形ODE方法二：连接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2 ∴DE?1OB?OE, 2∵OD=OE, ∴△DOE为等边三角形，即?DOB?60o ??(6分)
20.如图，△ABC内接于⊙O，?B?60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP?AC。
（1）求证：PA是⊙O的切线；（5分） （2）若PD?3，求⊙O的直径。（5分）
）证明：连接OA ???????1分
∵?B?60，∴?AOC?2?B?120． ??2分 又∵OA?OC，∴?OAC??OCA?30.
? 又∵AP?AC，∴?P??ACP?30，
???APDOCB(第23题)
∴?OAP??AOC??P?90， ??????4分 ∴OA?PA，
? ∴PA是⊙O的切线. ?????? 5分 （2）在Rt△OAP中， ∵?P?30?，
∴PO?2OA=OD?PD． ??????7分 又∵OA?OD， ∴PD?OA， ∵PD?3，
∴2OA?2PD?23． ∴⊙O的直径为23.
21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC?3AP； （2）如图②，若sin?BPC??AA
PP OO B BC
第22题图② 第22题图①
）证明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，
24，求tan?PAB的值． 25C又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝3AP．
（2）解：连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC． ∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．
∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF． ∵∠BPC＝∠FOC，
24． 25设FC＝24a，则OC＝OA＝25a， ∴OF＝7a，AF＝32a．
∴sin∠FOC＝sin∠BPC=
在Rt△AFC中，AC＝AF+FC，∴AC＝40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝
2
2
2
APGEOBFCEGFC， ?AEAC第22（2）题图EG24a，∴EG＝12a． ?32a?EG40aEF12a1∴tan∠PAB＝tan∠PCB=??．
CF24a2∴
22.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.
（1）求证：DE为⊙O的切线. （2）求证：AB︰AC=BF︰DF.
（1）证明：连结DO、DA
∵AB为⊙O直径 ∴∠CDA=∠BDA=90° ∵CE=EA ∴DE=EA ∴∠1=∠4
∵OD=OA ∴∠2=∠3 ∵∠4+∠3=90° ∴∠1+∠2=90° 即：∠EDO=90°∴DE为⊙O的切线 ????3分 （2）∵∠3+∠DBA=90° ∠3+∠4=90°∴∠4=∠DBA
∵∠CDA=∠BDA=90°∴△ABD∽△CAD
∴
ABBD= ???5分 ACAD∵∠FDB+∠BDO=90° ∠DBO+∠3=90° 又∵OD=OB ∴∠BDO=∠DBO ∴∠3=∠FDB
∵∠F=∠F ∴△FAD∽△FDB
BDBF= ???8分 ADDF即：AB：AC=BF:DF ???9分 ∴
23.如图，AB是圆O的直径，AM和BN是圆O的两条切线，E是圆O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于C，且OD//BE，OF//BN. （1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：OF?
1CD. 2O A D E F M B C N