图5 图6
（3）当A、D、E三点共线时，BD＝45或125． 5考点伸展
第（3）题的思路是这样的：
如图7，当点E在AD的延长线上时，四边形ABCD是矩形，此时BD＝AC＝45． 如图8，当点E在AD上时，在Rt△ACD中，AC＝45，DC＝4，所以AD＝8． 因此AE＝AD－ED＝8－2＝6． 由
AE52125＝，得BD＝． AE?BD255
图7 图8
11
例 2015年河南省中考第23题
如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．
（1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使△PDE的面积为整数” 的点P共有11个．
思路点拨
1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．
2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．
图文解析
（1）抛物线的解析式为y??x2?8．
（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下： 设点P的坐标为(x,?x2?8)，那么PF＝yF－yP＝x2．
而FD2＝x2+(?x2?8?6)2?x2+(x2?2)2?(x2?2)2，所以FD＝x2?2． 因此PD－PF＝2为定值． （3）“好点”共有11个．
在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．
而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．
此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4． 所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．
18181818181818
12
图2 图3
考点伸展
第（3）题的11个“好点”是这样求的：
如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE． 因为S△POD＝OD?(?xP)??3x，S△POE＝OE?yP??S△PDE＝?3x?121212x?16，S△DOE＝12，所以 41211x?16?12＝?x2?3x?4＝?(x?6)2?13． 444因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．
如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当S＝12时，方程?(x?6)2?13?12的两个解－8, －4都在－8≤x≤0范围内． 所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个．
14
图4
13
例 2014年河南省中考第23题
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、
3B(5, 0)两点，直线y??x?3与y轴交于点C，与x轴交于
4点D，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE＝5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P
的坐标；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P运动，可以体验到，PE与EF的比值，有两个时刻等于5．当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．
思路点拨
1．用含有m的式子表示PE、EF的长，注意EF存在两种情况．
2．第（3）题我们这样来思考：假如点E′落在了点C上方的某个位置，那么∠EC E′其实是确定的，作角平分线就得到了点P的位置．点P确定了，就可以确定点E、E′的准确位置．此时比较容易观察到菱形PE′CE．根据EC＝EP解方程的时候，转化为m的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程．解得到m的四个根．
这四个根的几何意义是当点E′在C上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E′在C下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点．注意舍去x轴下方的解．
图文解析
（1）因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(5, 0)两点， 所以y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋4x＋5．
3（2）点P的横坐标为m，那么P(m,－m2＋4m＋5)，E(m,?m?3)，F(m, 0)．
4319所以PE?(?m2?4m?5)?(?m?3)??m2?m?2．
44若PE＝5EF，存在两种情况：
3193如图2，当E在F上方时，EF??m?3．解方程?m2?m?2?5(?m?3)，
44413得m＝2，或m?（点P在x轴下方，舍去）．
23193如图3，当E在F下方时，EF?m?3．解方程?m2?m?2?5(m?3)，
444得m?1?691?69，或m?（点P在x轴下方，舍去）． 2214
图2 图3 111（3）点P的坐标为(?,)，或(4,5)，或(3?11,211?3)．
24考点伸展
第（3）题的思路是这样的：
如图4，当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．这是因为： 根据对称性，CE＝CE′，∠PCE＝∠PCE′．
又因为PE//CE′，所以∠PCE＝∠CPE′．所以∠PCE′＝∠CPE′． 所以CE′＝PE′．所以四边形PE′CE是平行四边形． 所以四边形PE′CE是菱形．
3325219由E(m,?m?3)、C(0, 3)，得EC2?m2?(?m)2?m．而PE??m2?m?2，由
44164EP＝EC，可得两个方程：
1951解方程?m2?m?2?m，得m??，或m＝4（如图4所示）．
442195解方程?m2?m?2??m，得m?3?11，或m?3?11（点P在x轴下方，舍去）
44（如图5所示）．
图4 图5
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