2所以抛物线C与y轴的交点为E(0,m)．
13当EF//x轴时，点F与点E关于抛物线的对称轴对称，
2所以点F的坐标可表示为(2m,m)．
132将F(2m,m)代入直线y?133123x?3，得m2?m?3． 333整理，得m?23m?9?0．
解得m?33（如图2）或m??3（如图3）． 因此抛物线C的解析式为y?211(x?33)2或y?(x?3)2． 33
图2 图3 图4
（3）设等边三角形APD的边长为2a，
那么点D的坐标可以表示为(a?33,3a)，点P的坐标为(2a?33,0)．
将D(a?33,3a)代入C：y?得3a?
1(x?2a?33)2， 312a．解得a?33． 3因此当抛物线C的顶点P的坐标为(33,0)时，D能落在抛物线C（如图4）．事实上，点D恰好落在y轴上．
考点伸展
第（3）题也可以设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0），
?m?333(m?33)?,那么AP?m?33，点D的坐标可以表示为????． 22??12将点D的坐标代入抛物线C：y?(x?m)，
33(m?33)1?m?33???得．解得m?33． ???23?2?
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例 2008年河南省中考第23题
如图1，直线y??4 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
3（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．
观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
图文解析
（1）直线y??4x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． 3Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5． 点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，sinB?44，所以NH?t． 55如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
S?
11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t．定义域为0＜t≤2． 2255527
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t．定义域为2＜t≤5．
22555
图2 图3
②把S＝4代入S?
22424t?t，得t2?t?4． 5555解得t1?1?11，t2?1?11（舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?1?11． ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?所以
3， 55?t325?．解得t?． t58如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5． 不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t?25或者t?5时，△MON为直角三角形． 8
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
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