例 2013年河南省中考第22题
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_______．
图1 图2
（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2
的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE//AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF．．．．的长．
图3 图4
动感体验
请打开几何画板文件名“13河南22”，拖动左图中的点E绕点C旋转，可以体验到，△CAN与△DCM保持全等，AN＝DM．观察右图，△CDF与△BDE的底边CD与BD相等，因此当高GF与EH相等时，△CDF与△BDE的面积相等，符合条件的点F有两个．
答案
（1）①DE＝2AC；②S1＝S2．
（2）如图5，由“角角边”可以证明△CAN≌△DCM，所以AN＝DM． 因此△BDC与△AEC是等底等高的两个三角形，面积相等．
（3）如图6，作△BDE的边BD上的高EH．延长CD交AB于G，以G为圆心，EH的长为半径画圆与AB的两个交点，就是要求的点F．BF＝843或3． 3316
图5 图6
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例 2012年河南省中考第15题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3．点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF是直角三角形时，BD的长为_______．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南15”，拖动点D在BC边上运动，观察△AEF的形状，可以体验到，∠AEF＝60°保持不变，另外两个角各有一次机会成为直角（如图2，图3）．
答案 如图2，BD＝1；如图3，BD＝2．
图2 图3
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例 2012年河南省中考第23题
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B两点，x?1与抛物线y＝ax＋bx－3交于A、
2点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②联接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中，直线y?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图像是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
图文解析
（1）设直线y?1x?1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 2在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE?5．所以sin?AEO?25． 525． 5?4a?2b?3?0,将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得?
?16a?4b?3?3.因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin?ACP?11，b??． 22111（2）由P(m,m2?m?3)，C(m,m?1)，
2221111得PC?(m?1)?(m2?m?3)??m2?m?4．
2222解得a?所以PD?PCsin?ACP?
252512595． PC?(?m?m?4)??(m?1)2?5525519
所以PD的最大值为95． 55； 2（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m?当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m?32． 9
图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而DN?PDcos?PDN?PDcos?ACP?BM＝4－m．
525121?(?m?m?4)??(m?2)(m?4)， 5525195①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
510211032②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
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