例 2010年河南省中考第22题
（1）操作发现 如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．
AD的值； ABAD（3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC＝nDF，求的值．
（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求
AB
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10河南22”， 拖动点D改变矩形的边长CD，∠BEF保持直角不变，△BAE与△EDF保持相似（如图2）．
答案 （1）如图2，Rt△DEF≌Rt△GEF，所以DF＝GF；
（2）
ADAB?2； （3）AD2AB?n．
图2
21
可以体验到， 例 2010年河南省中考第23题
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值．拖动点Q在直线y＝－x上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有4种情况可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示．
思路点拨
1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．
3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．
图文解析
(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，故可设y＝a(x＋4)(x－2)．
1． 2112所以抛物线的解析式为y?(x?4)(x?2)?x?x?4．
22代入点B(0,－4)，求得a?(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．
过点M作x轴的垂线交AB于D，那么MD?(?m?4)?(m?m?4)??所以S?S?MDA?S?MDB?12212m?2m． 21MD?OA??m2?4m??(m?2)2?4． 212x?x?4)． 2因此当m??2时，S取得最大值，最大值为4． (3) 设点Q的坐标为(x,?x)，点P的坐标为(x,①如果PQ//OB，那么PQ＝OB＝4．
22
当点P在点Q上方时，(x?x?4)?(?x)?4．解得x??2?25．
此时点Q的坐标为(?2?25,2?25)（如图3），或(?2?25,2?25)（如图4）． 当点Q在点P上方时，(?x)?(x?x?4)?4．
解得x??4或x?0（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）． ②如果PO//BQ，那么PO＝BQ＝4．此时点Q的坐标为(4, －4) （如图5）．
122122
图3 图4 图5
考点伸展
在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？ 如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．
图6 图7 图8
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例 2009年河南省中考第21题
把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）把两个含有45°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“09河南21”，拖动点B，改变两个直角三角形（三角板）的内角，可以体验到，只要两个直角三角形相似，AF与BE就保持垂直关系．这是为什么呢？拖动点E绕点C逆时针旋转90°，就会体验到，△BEC与△ADC相似，∠BEC与∠EAF的度数和等于90°．
答案 （1）根据“边角边”证明△ECB≌△DCA，得到∠EBC＝∠DAC．
因此∠BFA＝∠BEC＋∠FAE＝∠BEC＋∠EBC＝90°． 所以AF⊥BE．
（2）AF与BE垂直．
24
例 2009年河南省中考第23题
如图1，直线y?123且与x轴交于点A，将抛物线y?x沿x?b经过点B(?3,2)，
33x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数； （2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF//x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
（3）在抛物线y?12x平移的过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能3否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C的顶点P的坐标；如不能，说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09河南23”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，EF有两个与x轴平行的时刻，△APD保持等边三角形的形状，当D落在抛物线上时，恰好D也落在y轴上．
思路点拨
1．解第（2）题的策略是：设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0），用m表示点E的坐标，当EF//x轴时，根据对称性，用m表示点F的坐标，将点F的坐标代入直线的解析式，解关于m的方程就可以了．
2．解第（2）题的策略是：设等边三角形APD的边长为a，用a表示点D、P的坐标，将点D的坐标代入抛物线C的解析式，解关于a的方程就可以了．
图文解析
因为直线y?所以2?3x?b经过点B(?3,2)， 33?(?3)?b．解得b?3． 33x?3． 3所以直线的解析式为y?所以直线与x轴的交点为A(?33,0)，与y轴的交点为（0，3）． 因此tan?BAO?333?3． 3所以∠BAO＝30°．
（2）设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0）， 那么抛物线C的解析式为y?1121(x?m)2?x2?mx?m2． 333325