章丘中学张士岩 内部资料 2012.7
专题五 匀速圆周运动 万有引力
一、走进高考
1.（2007）22．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是
A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天
B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大 D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小
2.（2008）18.据报道，我国数据中继卫星“天链一号Ol星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经770赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 A运行速度大于7.9 km／s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
3.（2009）18．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等
轨道2 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
轨道1 C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨
Q P
道运动的加速度 地球
4.（2010）18.1970年4月24日，我过自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点的M和远地点的N的高度分别为439km和2384km，则
A.卫星在M点的势能大于N点的势能
B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D.卫星在N点的速度大于7.9km/s
5.（2011）17.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期
B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方
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6.（2012）15.2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则
3v1v2等于
A.
R1R32 B. R2R1C.
R2R221D.
R2R1
二、感悟高考
常考知识点：
1. 圆周运动的基本公式、实例分析
2. 受力分析、万有引力、天体运动、同步卫星、完全失重 3. 能量关系、机械能守恒
重要方法:
1. 物理方法：空间想象力
2. 数学方法：圆的知识、三角函数
情景模型：水平面、斜面、多物体系统、绳、杆、万有引力 答案： 1. BC 2. BC 3. BC 4. BC 5. AC 6. B
三、知识储备 （一）基础知识
1. 匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小（2）角速度
，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； ，恒定不变量；
（3）周期与频率（4）向心力向与向心力相同；
；
，总指向圆心，时刻变化，向心加速度
，方
（5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为。
所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明
向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。
（二）解决圆周运动问题的步骤
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1. 确定研究对象；
2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；
3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向； 4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。 基本规律：径向合外力提供向心力
（三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题
例1：如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）
A. a点与b点的线速度大小相等 B. a点与b点的角速度大小相等 C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点与d点的向心加速度大小相等
点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点
以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。 2. 水平面内的圆周运动
转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。
例2：如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的
倍。
求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。
（2）当转盘的角速度
点评：当转盘转动角速度
时，细绳的拉力。
时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周
运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是物体相对圆
台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。
例3：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。
，
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点评：可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。注意绳、杆的区别
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有则不能通过最高点；
，即
，否
（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，，否则车将离开桥面，做平抛运动；
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当
时物体受到的弹力必然是向上的；当
大小
时，向心力有两解
；当弹力大小
时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力
时，向心力只有一解
；
当弹力时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。 结合牛顿定律的题型
例4：如图所示，杆长为，球的质量为最高点处，杆对球的弹力大小为
，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在
，求这时小球的瞬时速度大小。
（1）；
（2）
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。 需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
考虑圆周运动的周期性
例5. 如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒的时间小于半个周期，在筒上先、后留下a、b两个弹孔，已知aO、bO间夹角为φ弧度，则子弹速度为
dω/（π－φ）
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结合能量的题型
例6：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为经过最低点的速度都是合力为零，那么
、
、
，沿环形管顺时针运动，
，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的、R和
应满足的关系是 。
由以上各式解得
点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。
连接问题的题型
例7：如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知，，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
B球对细杆的拉力大小等于，方向竖直向下。
说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这与后面解决双子星问题的共同点。 临界极值问题
例8：如图所示，用细绳一端系着的质量为另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为
。若A与转盘间的最大静摩擦力为求转盘绕中心O旋转的角速度
的物体A静止在水平转盘上，细绳的小球B，A的重心到O点的距离为，为使小球B保持静止，
）
的取值范围。（取
点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 微元问题
例9：如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为（
），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？
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