章丘中学张士岩 内部资料 2012.7
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为
由机械能守恒定律得
由圆周运动规律可知，列车的最小速率数理问题---归纳法
，联立解得
例10：如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距，长的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？
解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。
小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力
在第一个半圆内
不断增大，每转半圈的时间t不断减小。
，
在第二个半圆内，
在第三个半圆内，
在第n个半圆内令
，得
，
，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为
【精品练习】
1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 （ ）
A.
B.
C.
D.
2. 以相同的材料做成的A、Ｂ、C三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，且，，则（ ）
A. C的向心加速度最大 B. A受到的摩擦力最大
C. 转速增大时，C比B先滑动
D. 转速增大时，B比A先滑动
- 6 - 专题5
章丘中学张士岩 内部资料 2012.7
3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A球运动的半径大于B球运动的半径，则（ ）
A. A球的角速度必小于B球的角速度 B. A球的线速度必小于B球的线速度
C. A球运动的周期必大于B球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
4. 如图所示，已知半圆形碗半径为R，质量为M，静止在地面上，质量为m的滑块滑到圆弧最底端速率为v，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
A. mg＋mC.
B. Mg＋mg＋m
D. Mg＋mg—m
5. 如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的水平细杆上，穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则（ ）
A. 当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B. 当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动 C. 若转速为ω时，两球相对杆都不动，转速为2ω时两球也不动 D. 若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
6. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A点，遇到一段半径为R的圆弧曲面AB，然后落到水平地面的C点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC的最小距离为（ ）
R D. （－1）R
7、雨伞半径为R，高出地面h，雨伞以角速度ω旋转时，雨滴从伞边缘飞出 （ ） A. 沿飞出点半径方向飞出，做平抛运动。 B. 沿飞出点切线方向飞出，做平抛运动。
C. 雨滴落在地面上后形成一个和伞半径相同的圆圈。
D. 雨滴落在地面上后形成一个半径r＝R 的圆圈。
8、如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）
A.
9、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）
B.
C.
D.
A. 0 B. R C.
A. B.
C.
D.
- 7 - 专题5
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10、如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A. a处为拉力，b处为拉力 B. a处为拉力，b处为推力 C. a处为推力，b处为拉力 D. a处为推力，b处为推力
11（04全国卷）．如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
12．2002夏季高考理综上海卷下图是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98米；世界排名第五。游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25分钟，每个箱轿共有6个座位。试判断下列说法中正确的是
A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零 B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变 D．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变
13. 08年高考江苏卷物理如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放。当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是
(A)θ=90? (B)θ=45?
(C)b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小 (D)b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
14．2003夏季高考物理上海卷一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则 A．A球的最大速度为2
gl
B．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45° D．A、B两球的最大速度之比vA:vB?2:1
15、08年高考海南卷物理如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中， A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
- 8 - 专题5
O 章丘中学张士岩 内部资料 2012.7
16. 如图所示，高为h竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方处有出口B，一质量为m的小球自入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球进入入口A的速度应满足什么条件?在运动过程中，球对筒压力多大?
17、如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？ 5R/2
18. 如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？
19、（2009年广东物理）17．（1）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） （2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO?转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
答案：（1）2gH?v0；（2）①
- 9 - 专题5
2mgRR?H22，②2gHR
章丘中学张士岩 内部资料 2012.7
20. 如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面的高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：
（1）小球运动到B点时，对轨道的压力多大？ （2）小球落地点C与B点的水平距离s为多少？
（3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点的水平距离s最远？该水平距离的最大值是多少？
21、（2009年安徽卷）24．过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。
第一圈轨道
第二圈轨道
R1 B
L1
答案：（1）10.0N；（2）12.5m
(3) 当0?R3?0.4m时， L??36.0m；当1.0m?R3?27.9m时， L???26.0m
答案：1. C 2.D 3. AC 4. B 5.CD 6.D 7.BD 8.C 9.B 10.AB 11.D 12.A 13.AC 14.BCD 15.C
- 10 - 专题5
2
第三圈轨道
R3 D
L
A v0
R2 C
L