27.2 二次函数的图形和性质
27.2.2二次函数y＝ax2＋bx+c的图象的应用
导学目标：
1．会通过配方求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大值或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 重点和难点：
重点：会通过配方求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大值或最小值；
难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 导学过程： 一、提出问题
问题1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于 x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。
围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y＝x(20－2x)即 y＝－2x2
＋20x
配方得y＝－2(x－5)2＋50
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。 因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。
所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
问题2、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 导学要点
(1)学生阅读问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程：
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx)
1
即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－)2＋225
2
11
因为x＝时，满足0≤x≤2。 所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。
22
所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。
2215
二、情景创设
例5、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?
(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。 6－3x
让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等式组
2
??x＞0
?6－2x，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取值范围应该是??2＞0
0＜x＜2。
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题。 三、实践与探索
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）y?2x?3x?5； （2）y??x?3x?4．
分析 由于函数y?2x?3x?5和y??x?3x?4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数y?2x?3x?5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y?2x?3x?5有最低点，即函数有最小值．
2因为y?2x?3x?5=2(x?)?2222222343492，所以当x?时，函数y?2x?3x?5有最小
48值是?49． 82（2）二次函数y??x?3x?4中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线y??x?3x?4有最高点，即函数有最大值．
2因为y??x?3x?4=?(x?)?223225， 4所以当x??2532时，函数y??x?3x?4有最大值是
42回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，
a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数y?x?2x?3的最大值或最小值．
2
16
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表： x（元） y（件） 130 70 150 50 165 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。 四、作业设计
在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值． 教后反思：
27.3
求二次函数的关系式
导学目标：
1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 重点和难点：
重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、
y＝ax2＋bx＋c的关系式是导学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是导学的难点。 导学过程： 一、创设情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交ABAB
于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
2因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式。
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二、引申拓展
问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?
分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。
因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m， 所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可以得到：
?4a＋2b＝0.8? ?16＋4b＝0
1a＝－5
解这个方程组，得4
b＝5
???
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所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。
55
问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图
象相同?
问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎书 例 。
三、课堂练习：P21 练习1、2、3。 四、综合运用
例6、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。
请同学们完成本例的解答。
例7、一个二次函数的图像经过点(0，1)、(2，4)、（3,10），三点，求这条二次函数的解析式。
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五、小结
二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 六、作业设计
1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。
2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。
3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；
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5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x
22轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。 教后反思：
27.3 实践与探索（1）
导学目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。 重点和难点：
重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
导学过程：
一、情景创设
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ 二、实践与探索
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