………………6分 直线AE的方程为：y?2?2y1?2y?，即x?2?x?2??2， ??2y1y1?2?22，
得
令
x??2yM?2y1?4y1?2
………………9分 同
理
可
得
：
yN?2y2?4
y2?2 ………………10分
??????????4又 OM?(?2,ym),ON?(?2,)，
ym?????????4(y1?2)(y2?2) OM?ON?4?yMyN?4?(y1?2)(y2?2)?4?4[y1y2?2(y1?y2)?4]
[y1y2?2(y1?y2)?4]?4??04(?4?2m?4)
4(?4?2m?4)
………………12分
所以OM?ON，即?MON为定值 ………………13分
π2x2y232241. （Ⅰ）设椭圆的方程为2?2?1，因为e?，所以a?4b，
ab2又因为M(4,1)，所以
161?2?1，解得b2?5,a2?20， 2abx2y2??1． …………………4分 故椭圆方程为
205x2y2??1并整理得5x2?8mx?4m2?20?0， （Ⅱ）将y?x?m代入
205解得?5?m?5． …………………7分 ?=(8m)2-20(4m2-20)>0，（Ⅲ）设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1?k2?0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
8m4m2?20,x1x2?则x1?x2??． …………………9分 55k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)(x2?4)?(y2?1)(x1?4)??x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)分子?(x1?m?1)(x2?4)?(x2?m?1)(x1?4)?2x1x2?(m?5)(x1?x2)?8(m?1)2(4m2?20)8m(m?5)???8(m?1)?055所以直线MA、MB的斜率互为相反数． …………………14分
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