第一章实数集与函数
单选题：
1.y?xsinx是
A. 偶函数. B. 奇函数. C. 非奇非偶函数. D. 以上都不对. 2. 设f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数, 则
A. g[f(x)]与f[g(x)]都是奇函数. B. g[f(x)]与f[g(x)]都是偶函数. C. g[f(x)]与f[g(x)]都是非奇非偶函数. D. g[f(x)]为奇函数, f[g(x)]为偶函数. y?ln(1?x)333.
x?1的定义域是
B.x?1,或x??1.x??2?2?x?2x?2A.?1?x?1.2?x?f(x)??x?9x?2?4. 设
C.x??1或x?1.D.x?1且x??1.
则下列各式中不成立的是 ( )
f(1?)f( 4f(0?)f?( 3) A. C.f(?2?)f(?1?)f(2 ) B.f(. 3 ) D.132?3
5. f(x)?tan(3?x?1)?5的周期是 ( )
A.?.x1?x2B.3C.D.6. 函数是 ( )
A. 无界函数. B. 有界函数.
C. 无上界有下界函数. D. 有上界无下界函数.
?x?1f(x)???x?17. 函数
x?0x?0 是 ( )
f(x)?(???x???) A. 单调减少函数. B. 有界函数.
C. 两个初等函数. D. 非初等函数. 8. 任意一个定义在R上的函数, 皆可分解为 ( )
A. 两个偶函数之和. B. 一个奇函数与一个偶函数之积.
C. 一个奇函数与一个偶函数之和. D. 两个奇函数之和.
9. 下列式子中是复合函数的为 ( )
A.y??1?B.y????x(x?0. ) ?2?
1?(2?x. ) D.y?x?1.
2x C.y?sinx10. 下列函数中关于原点对称的是 ( ) x2
单选题答案: 1—10 ABDBCBDCAD
判断题
A..B.10?x?x10Cx.?3cxosDx.x
1. 有限集必有上确界.
2. 任何周期函数必有最小正周期.
3. 两个单调增函数之和仍为单调增函数.
4. 若f(x)在任一有限区间上皆为有界函数, 则f(x)在整个数轴上是有界函数. 5. 若对任意函数g(x)满足f[g(x)]?g[f(x)], 则f(x)必为常值函数. 6. 分段函数一定不是初等函数.
7. 设f(x),g(x)在区间I上是单调增加函数, 则函数h(x)?max?f(x),g(x)?在I上
也是单调增加函数.
8. 若数集A有最大数?,则 supA??.
9. 有限集必存在上、下确界, 且上、下确界即为该集的最大数和最小数. 10. 若无限数集E存在上(下)确界, 则它的上(下)确界必不属于E. 判断题答案: 1—10 . √×√×××√√√×. 填空题1函数
y?x?4?22log3x?1?arcsin2x?17的定义域_________.
1. 函数y?log5(x?f(x)?x,2x?1)的反函数是_____________.
2. 已知f(x)的定义域为[0, 1 ], 则f(lgx)的定义域为_________. 3.
?(x)?2, 则 f[?(x)]?______________.
x4. f(x)是有界、周期的偶函数，但它没有最小正周期，则f(x)?_______.
5.
f(x)?,1?x 则 f[f(x)]的定义域为___________. 16.
?xx?(??,1)?2f(x)??xx?[1,4]?2xx?(4,??)?, 则 f?1(x)?____________.
7. 若数集E有最大数?, 则 supE?_________.
8. supE??的定义: 1) ?x?E,x??;2)????,___________. 9. infE??的定义: 1)?x?E,x??;2)????,________. 10. 填空题答案: 1. [ 3, 4 ]. 2.
y?5?52x?x. 3. [1, 10 ]. 4. 22x
?1x??f(x)???0x???? 6. (??,?2)?(?2,?1)?(?1,??) 5.
xx?(??,1)???1f(x)??xx?[1,16]?logxx?(16,??)2? 7. 8. ?.
9. ?x0?E,使得 x0??. 10. ?x0?E,使得x0??.
证明题：
21． 1． 试证明数集S?{y|y?2?x,x?R}有上界而无下界
2．设S为非空有下界数集，证明：infS???S???minS
1caf(x)?bf()?,(a,b,cxx3．设f(x)适合均为常数）且a?b， 试证明
f(?x)??f(x)4． 设f(x)为[?a,a]上奇函数，证明若f(x)在[0,a]上递增，则f(x)在[?a,0]上递增。
5. 定义于R上的函数f(x)既是偶函数,又对称于直线x?a定义域上周期函数.
6. 若f(x)定义于R上, 存在正常数k,T 对?x?R 则 f(x)?a?(x)xa?0,证明f(x)是其
f(x?T)?kf(x)
a?0 常数, 其中?(x)是以T为周期的周期函数.
7. 设f、g为定义在D上的有界函数，满足f(x)?g(x)，x?D 证明：⑴
supf(x)?supg(x)x?Dx?D；⑵
inff(x)?infg(x)x?Dx?D
8. 证明：f(x)?x?sinx在R上严格增.
9. 设f、g为区间(a,b)上的增函数，证明?(x)?max{f(x),g(x)}，
?(x)?min{f(x),g(x)}也都是区间(a,b)上的增函数. 10. 证明：tanx在
(??2,?2上无界，而在
)(?2?2,?2内任一闭区间[a,b]上有界.
) 证明题答案：1．证明 ?y?S，有y?2?x?2，故2是S的一个上界.
而对?M?0，取x0?S无下界.
3?M，y0?2?x0??1?M?S，但y0??M. 故数集
2 2．证明：?）设infS???S，则对一切x?S，有x??，而??S，
故?是数集S中的最小的数，即??minS.
?）设??minS，则??S；下面验证??infS； ⑴ 对一切x?S，有x??，即?是数集S的下界；
⑵ 对任何???，只须取x0??，则x0??. 所以??infS. 3．证： 令
af(x?1x1t后令t?x，
)?bf(x?) 1
cx1caf(x)?b()?xx 2
f(x)?1b?a22 1×b?2?a得
(bcx?acx))， ?f(?x)??f(x.
4. ?x1,x2?[?a,0] 且 x1?x2,?x1??x2. 又f(x)在[0,a]上递增, 所以
f?(2x)??f2(, x)a?0,?f(a?x)?f(a?x),
f(a?a?)x?(f2, a?x)??f(1x),1 f(?x1)?f(?x2), 又 f(?x ??f(x1)??f(x2), 即 f(x1)?f(x2)5. ?f(?x)?f(x), 又 f(x)对称于直线x?a)? ?f(x)?f(a?x?a?f(x)在[?a,0]上递增.
f[?(a?(a?x)]? 所以 f(x)是其定义域上的周期函数.
6. ?x?R,a?0,a?0. 令
x?(x)?f(x)aax, 即 f(x)?a?(x),
?kf(x)??xTakaTx 又 f(x?T)?kf(x),
?(x?T)?f(x?T)x?Ta(f)x?x?T(x)a,
kT 取 a 使 k?a, 即有 ?(x?T)??(x).
7. 证 ⑴ ?x?D，有所以
supf(x)?supg(x)x?Dx?Df(x)?g(x)?supg(x)x?D，即
supg(x)x?D是f在D上的一个上界，
.
，即x?Dinff(x)⑵ ?x?D，有
inff(x)?infg(x)x?Dx?Dinff(x)?f(x)?g(x)x?D是g在D上的一个下界，所以
.
x2?x1x2?x128. 证 设x1?x2，于是
f(x2)?f(x1)?x2?sinx2?x1?sinx1?x2?x1?2cos|2cosx2?x12sinx2?x122x2?x12sin ，从
因为?x?0，有sinx?x，所以而
x1?x2?2cosx2?x12sin|?2|sin|?x2?x1x2?x12?x2?x1x2?x12. 所以有 x2?x12?x2?x1?x1?x2?0f(x2)?f(x1)?x2?x1?2cossin
即f(x)?x?sinx在R上严格增.
9. 证 ⑴ 先证?(x)?max{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数. 设x1?x2，于是有
?(x2)?max{f(x2),g(x2)}?f(x2)?f(x1)，
?(x2)?max{f(x2),g(x2)}?g(x2)?g(x1)，
从而?(x2)?max{f(x1),g(x1)}??(x1)，所以?(x)是增函数.
⑵ 其次证明?(x)?min{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数
设x1?x2，于是有
?(x1)?min{f(x1),g(x1)}?f(x1)?f(x2) ?(x1)?min{f(x1),g(x1)}?g(x1)?g(x2)
从而 ?(x1)?min{f(x2),g(x2)}??(x2)
10. 证 ?M?0，取x0?arctan(M?1)，于是
tanx0?M?1?M，所以tanx在
(?x0?(??2,?2). 则有
?2,?2上无界.
)在
(??2,?)2内任一闭区间[a,b]上，取M?max{|tana|,|tanb|}，则?x?[a,b]，
必有|tanx|?M，所以tanx在[a,b]上有界.
计算题:
f(x)?1lg(3?x)?49?x21. 1. 设
，求f(x)的定义域和f[f(?7)]
2. 设函数f(x)在(??,??)上是奇函数，f(1)?a且对任何x值均有
f(x?2)?f(x)?f(2)
⑴ 试用a表示f(2)与f(5).
⑵ 问a取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数.
?1?x,f(x)???13. 设
x?0x?0，求f[f(x)].
4.设 f(x)为定义在R上函数，且?x?R， 有
2f(x)?f(1?x)?x
2 试求f(x)的表达式.
x?1，试验证f{f[f(f(x))]}?x，并求5. 设
6.讨论下列函数的奇偶性
g(x)?f(x)(1a?1xf(x)?xf[1f(x)（x?0，x?1）.
]?12), 其中f(x)是奇函数.
7. 设 f(2x)?3x?1, 且 f(a)?4, 求 a的值.
8. 设 f(x)的定义域D?[0,1], 求函数 f(x?a)?f(x?a)(a>0)
9. 设f(x)?1x?x2，求
⑴ f(x)的定义域 ⑵ 2 10. 设
{f[f(x)]}1x， 试用f(x)表示f(x)与f(x3)
222
f(x)?x?计算题答案:
1.解 由3?x?0,3?x?1,49?xf(?7)?1lg10?1?0解得f(x)的定义域为[?7,2)?(2,3)
f[f(?7)]?1lg2?43，所以
2.解 ⑴ 因为对任何x值均有f(x?2)?f(x)?f(2)，令x??1得
a?f(1)?f(?1?2)?f(2)?f(?1)?f(2)?f(1)?f(2)?a，所以f(2)?2a.
f(3)?f(1)?f(2)?3a，f(5)?f(2)?f(3)?5a