lim(1?t)于是原极限=x?0?21?t3
12?13 =x?02lim?[(1?t)t]?lim?(1?t)t?0
=e 2、x???lim(x?nx?n)x （n为正整数）
)x解：x???lim(x?nx?n=x???x?n?nlim(1??2n2nx?n)x
=x??? =x???lim(1?2nx?n2n)2n
x?n2n?12lim[(1?x?n2nx?n2nx?n)]2n
2nx?n1x?n =x??? =x??? =e =e2n2nlim[(1?)2n?(1?2n)2]2n
nx?nlim[(1?)2n]?(1?2nx?n)
?1
1f(x)?2x?1limf(x)limf(x)2x?1求x?0?与x?0?
13、
1?111解：x?0lim?f(x)x?0lim?2x?11x?0lim?1?2x?111=
2x?1=
1?2x1y1y ??1
x?0limf(x)?x?0lim?2x?11limy?02???1?1?=
2x?1=
2
4、x?0lim1?tanx?sinx1?tanx 2tanx解：分子有理化后再约去sinx，得
limx?0原式=
sinx(1?tanx?2cosx(1?tanx?1?tanx) 1?tanx)?1lim =
2x?0
5、
limx?3x?5x?6x?8x?15
22解：x?3x?8x?15=x?3(x?3)(x?5)=x?3(x?5)limx?5x?6xsinx22lim(x?3)(x?2)lim(x?2)??12
6、x??x?4 解：
?0?(limx??limxsinxx?4xx?422)?(?0x2x?4
)而
xsinxx?42由迫敛性定理知
limx2x??limx???0
x?4或者：?而sinx为有界量(x??)
根据无穷小量与有界量之积仍为无穷小量得 原极限=0
?0limsin4xx?1?1 sin4xx?1?1=x?0sin4x4xx?07、x?0lim解：x?0 =x?0lim(x?1?1)sin4xx
lim4(x?1?1)
sin4x4x =x?0 =8
4lim(x?1?1)?lim
xsin21x8、x?0limsinx
1xxsinlimx?01xlimxsinx?01x?01?0xsin2解：x?0limlimsinxxsinxsinxsinx==
limsinxxx?0
9、x????x 解：
limx????x=
limt?0sin(??t)t=
limt?0sintt?1
lim1?2x?3x?21?2x?3x?2x?210、
x?4 lim(2x?8)(x?2)(x?4)(1?2x?3)
4?29?3?43
lim解：
x?4=
x?41?2x?3= =
五、证明题（每题5分）
x?42lim2?1、设x0?(a,b)，在[a,b]上恒有f(x)?f(x0)，且 limx?x0f(x)?f(x0)x?x0limf(x)?f(x0)x?x0?0存在，试证
x?x0
证明：??x?[a,b] f(x)?f(x0)
?f(x)?f(x0)?0
当x?[a,b]，且x?x0时
f(x)?f(x0)x?x0lim?
x?x0?0limf(x)?f(x0)?
f(x)?f(x0)x?x0存在， ?x?x0?0x?x0x?x0?0
f(x)?f(x0)当x?x0时，
lim?
x?x0? ?0f(x)?f(x0)x?x0x?x0 ?0limf(x)?f(x0) 从而2、设x???limx?x0
?f(x)?A，证明x?0lim1f()?Ax
证明：由x???今设
limf(x)?A????0,?X?0f(x)?A??，当x?X时， u?1x?X??1X?0，于是当
0?x?1X时，
1f(u)?A?f()?A??x则
即x?03、若x???证明：?limlim?1f()?Ax
f(x)?Alim，则?X?0，使x?X时，f(x)有界
对???0，取??1
f(x)?A?x????X?0，当x?X时，f(x)?A?1
即
limf(x)?A?1?f(x)?A?1
即f在x?X时，f(x)有界
4、设，
（用???语言证之）
x?x0f(x)?Alimg(x)?Bx?x0，证明A?B时，则在某?(x)内有f(x)?g(x)，
00证明：?limx?x0f(x)?A，
limg(x)?Bx?x0，且A?B
则对???0取
??A?B2?0
??1?0，0?x?x0??1
?f(x)?A?A?B2?A?B2f(x)?A?A?B2
g(x)?B?A?B2??2?0，0?x?x0??2
?g(x)?B?A?B2?A?B2
取??min??1,?2?则0?x?x0??时
f(x)?A?B2?g(x)3
235、设x??，证明2x?3x?O(x) 证明：?3limx??22x?3xx3332?lim(2?x??3x)?2
6、设x?x语言证之）
0?2x?3x?O(x)
limf(x)?Alimg(x)?B，x?x0，且在U(x,?)内f(x)?g(x)则A?B（用???00'证明：?limx?x0f(x)?A，
limg(x)?Bx?x0，则对???0
分别??1?0,?2?0 当
0?x?x0??10?x?x0??2 f(x)?A??
g(x)?B??
'??min??1,?2,??，则当0?x?x0??时 A???f(x)?g(x)?B??
?A?B?2?由?的任意性，得A?B
limx?x07、证明：若证明：设
limf(x)存在，则极限是唯一的 ，
limx?x0f(x)?Af(x)?Bx?x0 ?2
则对???0分别??1?0,?2?0使
当
0?x?x0??10?x?x0??2，有，有
f(x)?A?f(x)?B??2
0?x?x0??取??min??1,?2?，则当时 A?B?(f(x)?A)?(f(x)?B)
?(f(x)?A)?f(x)?B?
?2??2??
8、用定义证明
limx?3x?9x?322?6
证明：当x?2时
f(x)?6?x?9x?3?6?x?3?6?x?3
0?x?3??时 ?对???0取???，当f(x)?6??
2x?9lim?6x?3x?3? limsinx9、证明x???不存在
证明：当x?2n?时，x???当
?limx???limcosx=x???limcos2n??0 ?2)?1x?2n???limcosx2时，x???=x???limcos(2n??
limcosxx???不存在
f(x)的归结原则：
limf(x)[a,??]fx设定义在上，则???存在?对??xx??[a,??)
且x???limxn???，x???limf(xn)存在且相等
10、设f(x)~g(x)(x?x0)时，证明f(x)?g(x)?o(f(x)) 证明：?f(x)~g(x)(x?x0)
lim??x?x0f(x)g(x)?1?lim[x?x0limx?x0 f(x)?g(x)f(x)f(x)g(x)?g(x)f(x)?1]?1?1?0
一、单选题（每题2分）
?f(x)?g(x)?o(f(x))
?x?f(x)??xx?0?0? x?0则（ ） 1、设
A、f(x)在x?0处极限存在且连续 B、f(x)在x?0处极限存在但不连续 C、f(x)在x?0处左、右极限存在但不相等 D、f(x)在x?0处左、右极限不存在
?exx?0f(x)???a?xx?0要使f(x)在x?0处连续，则a=（ ） 2、设
A、2 B、1 C、0 D、-1