2=10?15
10、根据初等函数的连续性求极限x?0解：令t? ∴x?0lim?xlim?xcosx
x则x?t2x?0
11cost?1t22cosx?lim?(cost)t?lim?[(1?(cost?1)cost?1]t?0t?0?e?12
t?0t（∵t?0五、证明题（每题5分）
lim?cost?12?2sin?lim?t22t2??12）
1、证明：若f(x)在a连续，且f(a)?0，则???0证明：∵f(x)在a连续
∴x?alimf(x)?f(a)?0?x:x?a??有f(x)?0
?0???0?x1x?a??即对???0取有∴
于是
??f(a)2f(a)2f(a)2
f(x)?f(a)?f(x)?f(a)??f(a)2时，
?0
???0?x:x?a??f(x)?0
2、证明：若y??(x)在x?a连续，且b??(a)，而z?f(y)在b处连续，则复合函数z?f[?(x)]在a连续
证明：已知z?f(y)在b处连续
f(y)?f(b)??即???0???0?y:y?b??有
又y??(x)在x?a连续，且b??(a)
∴对上述的??0???0?x:x?a??
?(x)??(a)?y?b??
?x:x?a??时
于是???0（???0，从而）???0有（
?(x)??(a)?y?b??，从而）
f[?(x)]?f[?(a)]?f(y)?f(b)??∴f[?(x)]x?a连续
3、证明：若f(x)是以2?为周期的连续函数，则存在??(??,??)，使得f(???)?f(?) 证明：令g(x)?f(x??)?f(x)，则g(x)也连续
∵g(0)?f(?)?f(0)
g(?)?f(2?)?f(?)?f(0)?f(?) ∴g(0)??g(?)
当g(0)?g(?)?0时，只须取??0即可 当g(0)?0时，g(0)与g(?)异号 由零点Th，???(0,?) 使得g(?)?0 即f(???)?f(?)
4、证明：若f(x)在[0,1]上连续，且f(x)的值域也是[0,1]，则至少存在一点xx?[0,1]使得f(x0)?x0 证明：?x?[0,1]f(x)?[0,1]0?f(x)?1
f(1)?1
令F(x)?f(x)?x
则1）若F(0)?0或F(1)?0则取x0?0或x0?1?f(0)?0于是由零点Th，至少存在一点x0?(0,1) 使F(x0)?0即f(x0)?x0
5、设f(x)与g(x)在[a,b]连续，且f(a)?g(a)??[a,b]使得f(?)?g(?)
证明：令F(x)?f(x)?g(x)则F(x)在[a,b]上连续
且F(a)?f(a)?g(a)?0
F(b)?f(b)?g(b)?0
由零点Th，至少???(a,b)使F(?)?0 即f(?)?g(?)
6、设f(x)在[0,1]上连续，对任何有理数??[a,b]，有f(?)?0，则在[a,b]上f(x)?0 证明：（反证）若存在无理数??[a,b]，使f(?)?0
由连续函数的保号性，??的某?(?;?)使
?x??(?;?)f(x)?0
但由有理数的稠密性知，在它邻域内必有有理数?（无穷多个）在这些点时f(?)?0 与f(?)?0矛盾 故f(x)?0 x?[a,b]
7、设f(x)在[0,2a]上连续，f(0)?f(2a)，证明方程f(x)?f(x?a)在[0,a]内至少有一个实根
证明：F(x)?f(x)?f(x?a)
F(0)?f(0)?g(a) F(a)?f(a)?g(2a)
f(b)?g(b)证明至少存在一点
2）若F(0)?0且F(1)?0则有F(0)?F(1)?(f(0)?0)(f(1)?1)?0
∴F(0)?F(a)?0即F(0)??F(a)
若F(0)?0(?0)则F(a)?0(?0)
由零点Th，至少???(0,a)使F(?)?f(?)?f(??a)?0 即f(?)?f(??a) 即??(0,a)为f(x)?f(x?a)的实根 若F(0)?0则F(a)?0此时f(0)?f(a)?f(2a) 此时x?0x?a为f(x)?f(x?a)在[0,a]上的根
8、如果f(x)在(a,b)连续，且f(a?0)与f(b?0)为有限值，则f(x)在(a,b)内有界 证法一：∵f(a?0)与f(b?0)存在
?f(x)x?(a,b)?F(x)??f(a?0)x?a?f(b?0)?∴ x?b
则F(x)在[a,b]上连续，从而有界
∴f(x)在(a,b)内有界
证法二：∵f(a?0)与f(b?0)存在
由极限局部有界性，?M1,M2?0，?充分小
??0
当x?(a,a??)x?(b??,b)f(x)?M1 f(x)?M2
而f(x)在[a??,b??]上连续，从而?M3?0 ?x?[a??,b??]f(x)?M3
f(x)?M 取M?max?M1,M2,M3? 则对x?(a,b) 即f(x)在(a,b)内有界
9、设f(0)?g(0)，当x?0时，f(x)?g(x)，试证f(x)与g(x)中至多有一个在x?0处连续
证明：（反证）假若f(x)与g(x)都在x?0连续
则x?0limf(x)?f(0)limg(x)?g(0)x?0
由于x?0∴x?0f(x)?g(x)
x?0limf(x)?limg(x)
∴f(0)?g(0)与已知矛盾
∴f(x)与g(x)不可能同时在x?0处连续 10、证明实系数方程x2n?1?a1x2n???a2nx?a2n?1?0至少有一个实根
2n?12n?a1x???a2nx?a2n?1 证明：设f(x)?x∵x???limf(x)???x???limf(x)???
由保号性?b?0，使f(b)?0f(?b)?0
于是f(x)在[?b,b]上f(b)f(?b)?0
而f(x)在(??,??)连续，从而在[?b,b]上连续 由零点得?x0?[?b,b]?(??,??)即为f(x)?0的根
一、单选题（每题2分）
1、f?x?在点x?x0可导是它在x?x0连续的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、既非充分又非必要条件 D、充要条件
f(x0)?0
2、如果f?x?在点x?x0可导，则（ ） f?x0?2h??f?x0??x0?h??f?x0?A、lim?f?h?0h?x0? B、
limfh?f?h?0?x0? f?x0?h??f?x0?h?f?x0??f?x0?2h?C、
limh?f?h?0?x0? D、
limh?f?h?0?x0?
limf?x0?h??f?x0?3h?3、f??x0???3，则h?0h?（ ）
A、?3 B、?6 C、?9 D、?12 4、下列说法正确的是（ ）
A、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内有界； B、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内连续； C、若f?x?在x0左右可导，则f?x?在x0处可导； D、若f?x?在x0某邻域内连续，则f?x?在x0处可导；
5、设f?x??xx，则f??0??（ ）
A、0 B、1 C、?1 D、不存在 6、当
?x充分小时，f??x0??0时，函数的改变量?y与微分dy?f??x0??x的关系是（ A、?y?dy B、?y?dy C、?y?dy D、?y?dy 7、函数y?tanx在x?0处是（ ）
A、连续且可导 B、不连续 C、有连续导数 D、连续不可导
2?x??x??f2?x?8、若f?x?可导，则?limfx?0?x?（ ）
A、0 B、?f??x??2 C、2f??x? D、2f?x?f??x? 9、f?x?可导，若y?f?sinx?，则dy?（ ）
A、f??sinx?dsinx B、f??sinx?dx C、
?f?sinx???dsinx D、前者均不对 ?f?x???21?xsinx?010、
?x?0x?0在x?0处（ ）
A、不连续 B、连续不可导 C、可导 D、f??x?连续
答案：ABDAA CDDAC
二、判断题（每题2分）
1、f?x?在x0可微的充要条件是f?x?在x0可导；（ ） 2、若f?x?在x0右可导，则f?x?在x0右连续；（ ）
3、f?u?在u?g?x0?可导，g?x?在x0不可导，则f?g?x??在x0一定不可导；（ ） 4、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内连续；（ ）
5、f?x?在x0可导，g?x?在x0不可导，则f?x??g?x?在x0一定不可导；（ ）
）6、x0是函数
g?x??f?x??f?x0?x?x0可去间断点的充要条件是f?x?在x0可导；（ ）
7、若f?x?是可导的偶函数，则导函数为奇函数；（ ） 8、f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内有界；（ ）
9、若f?x?在x0不可导，则曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处不存在切线；（ ）
10、可导的周期函数的导函数仍为周期函数.( )
答案：√√××√√√√×√
三、填空题（每题2分）
1、f?x???x?a???x?，而??x?在a处连续，则f??a?? ； 2、若f?x?在??a.a?上为偶函数，且f??0?存在，则f??0?= ； 3、设y?f?x?在x0处可微，则?y?dy? ； 4、设f?x?是可导函数，g?x??f5、Pn?x??a0x?a1xnn?12?x?，则g??x?? ；
???an,a0?0，则Pn?n??a2xn?2?x?? ；
6、
y?lnx??lnx?，则
? ；
7、y?lnsinx，则dy? ；
1?m?xsinf?x???x??0x?0x?08、设
，当m 值时，f?x?在x?0可导；
9、f?x??x?lnx，则f?x?的稳定点是 ； 10、
f?x??x，则f???0?? ，f???0?? ；
2????? 5、n!a0 ??2xfx?ao?x0答案：1、 2、 3、 4、
16、x 7、cotxdx 8、m?2 9、x?1 10、?1, 1
四、计算与应用题（每题5分） 1、y?2sin21x，求y?；
2y??2sin1x解：
?ln2?sin?22?21sin?111?x2ln2?2sincos??xxx?=?221?1??sin12x??2????2ln2?sin??x??=x2x
2、y?xln(x?1?x)?1?x，求y?；
x1?2x1?x2y??ln(x?1?x)?x?22x?1?x1?x 解：
xx2lnx?1?x??222lnx?1?x1?x1?x ==
????