故由两边夹法则知
lim1?n2???nnnn???1.
9. 9. 证明: 对 ?p?N?
11111an?p?an?????????33(n?1)(n?p)n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)1=n?1n?1???1n?p?1?1n?p?1n?1n?p?1?1?N???n 对???0, 取 ???,
a?an??a 则当n?N时, 对?p?N?都有n?p, 由柯西准则知 ?n?收敛.
10. 证明 先证数列{an}的有界性，用数学归纳法证明：2是{an}的一个上界.
a1?2?2，假设an?2，则an?1?2an?2?2?2，所以{an}有上界2. 2an?an?0其次证明{an}单调增加.
an?1?an?2an?an?an(2?an)，所以an?1?an，
2liman?aa{a}{a}nnnn??即单调增加. 从而极限存在，设，在?1?2an的两端取极限，得
a2lima?2?2a，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以n??n.
计算题:
1.n??lim(n?2?2n?1?lim132412??322n)
2n?12n ???2n?12n2. 3.
4. 5. 6.
n??lim(n??)
12lim(n??1n?12?1n?22???)n?n
lim1?e1?e3?nx?nxn??
nlimnn??n?3n1??lim?1??n??2n? ?7.
8. 9.
lim[(n?1)?n],0???1n????
2lim(n??1n2?1(n?1)42???2)1321(n?n))
10. 11.
lim(2n??2?2n
)?(1?1n2lim(1?n??122)(1?)
答案:
1. 解
??lim?n???lim(n?2?2n?1?n??n)?lim[(n?2?n??n?1)?(n?n?1)]
1n?2?0?n?1135246???1n?1?2n?12n???0n?
2. 解 因为
?11?333?5
2n?1(2n?1)(2n?1)?055?7?2n?3(2n?3)(2n?1)lim1324??12n?1
lim12n?1而
n???02n?12n，所以
n??
32n?1??1lim??2????nn??222??557792n?12n?3?2n?3????lim?3???2?2?3?????lim3?????3n?1nnn??n??22222222????3.
n4. 因为n?nlimnn?n2n??2?1n?12?1n?22???1n?n2?nn?12?nn2?1，
?lim11?1nn???1且
?lim?n????1n?12，所以
???1?2n?n? ??1x?0?1???0x?0?1??1x?0
1?1n?2nxnx2???lim1?1/e1?1/en???limeenxnxn??5. 原式=
3n6. 解 当n?3时，有n?3，于是
3?limn??n3?3nnn?3?n3nn2?3?3?n2?3,n(n??)，所以
nn?3?3n
1???lim?1??n??2n???2n?121??lim?1??n??2n??7.
?1n?1??lim?1??n??2n???2n?1ne
)?1]8. 解
0?(n?1)?n??n[(1??)?1]?n[(1?
?n?n?1n1???0,(n??)
所以，n??lim[(n?1)?n]?00?1n2??
1(2n)2?1(n?1)2????n?1n2?1n?1n2?0,(n??)9. 因为，所以
?111lim?????22n???n2(n?1)(2n)?24???0??
1?111???n4821?12n282?2n2?22?21?2110. 因为
1122，而
nn1?2lim2n?24?n2?1(n??)，于是n??2nlim22?1n，从而
n??2282?2?lim21nn???222
1111324n?1n?1lim(1?2)(1?2)?(1?2)lim?????n??n??2233nn（6分） 23n11. ==n??2lim1?n?1n1=2（7分）
一、单选题（每题2分）
sin1x x>0 1x x<0
limf(x)1、 1、 设f(x)? 则x?0不存在的原因是（）
xsinA、f（0）无定义 B、x?0lim?f(x)lim?f(x)不存在
lim?f(x)C、x?0不存在 D、x?0 不存在
2、下列各运算过程中正确的是（）
lim4xlim4x1?x=
2lim?f(x)与x?0都
x?1A、
x?1lim(1?x)x?12?? B、x?0limxsin1x?limxlimsinx?0x?01x=0
sinlimxsinx?01x?11xsinlim?limxsinx??1x?11xlim?x?01xx??1xC、 D、
?22x?x?23、若，则必有（）
A、a=2 b=8 B、a=2 b=5 C、a=0 b=-8 D、a=2 b=-8
x?2limx?ax?b2x，则当x?1时（） 4、设
A、?是?是等价无穷小 B、?是较?高阶无穷小 C、?是?是同阶无穷小 D、?是较?低阶无穷小
?(x)?1?x1?x，?(x)?1?3x不存在，则l=（） 5、设x?0=2，x?0，又x?0A、-2 B、1 C、0 D、2
lim?f(x)lim?f(x)?llimf(x)?x6、对?M?0总存在X?0，当x??X时，f(x)??M则（） A、
limx???f(x)?? B、x??limlimf(x)???f(x)???
C、x??? D、x???7、当x???时，下列变量为无穷大的是（）
1?x2limf(x)???xx3A、
x22 B、e C、x?x?1 D、xsinx
8、当x?0时，下列无穷小中不与x等价的是（）
x?xA、sinx B、2(1?tanx?1) C、e?e D、ln(x?1?x)
29、设f(x)定义域有(??,??)，若对每一个正数k，存在??0，使得当0?x??时，f(x)?k，则（）
B、x?0limf(x)??limf(x)??A、
limf(x)?kx?0
C、x?? D、x??10、下列结论中错误的是（）
?1000limf(x)?kA、10 B、当x?0时，C、x??时，xcosx是无穷大
?2xsin1x是无穷小
D、x?0时，lnx不是无穷小 答案：
1、C 2、D 3、D 4、C 5、A 6、C 7、C 8、C 9、B 10、C 二、判断题（每题2分） 1、如果
limf(x)x??存在，则f(x)必有界。（ ）
A2、若x???3、若
limx?x0limf(x)?A?0，则必存在M?0，使当x??M时，恒有2都存在，则
limg(x)x?x0?f(x)?32A（ ）
f(x)与
limx?x0f(x)g(x)必存在。（ ）
4、若x?a5、
limx?x0limf(x)?Alimf(x)?A，则x?a，反之也成立。（ ）
limf(xn)?A对?xn?x0(n??)有x??。（ ）
f(x)?A?limD(x)x?RD(x)x6、设为狄利克雷函数，0，则?x0不存在。（ ）
7、无穷小量与有界量乘积仍是无穷小量。（ ）
8、无穷大量与有界量乘积仍是无穷大量。（ ） 9、无穷大量必是无界理，无界量也必是无穷大量。（ ） 10、x??答案：
limf(x)g(x)??，x??limf(x)?0则x??limg(x)?? （ ）
1、× 2、√ 3、× 4、× 5、√ 6、√ 7、√ 8、× 9、× 10、√ 三、填空题（每空2分）
1、x?0的定义是：对?M?0，总有???0，使当 时，有 。
2、f(x)~g(x)(x?a)，则f(x)?g(x)是比g(x) 的无穷小。 3、穷小。
f(x)?sin2x，
g(x)?1x，当x??时均有无穷小，则f(x)与g(x)是 无
lim?f(x)???4、f(x)?limf(x)x?01?x?1?x，g(x)?x，当x?0时，f(x)?0，g(x)?0，
g(x) 则
5、变量y以A为极限的充要条件是变量y可以表示为 之和
?6、如果7、
x?alimx?x0f(x)?A，且在x0的某邻域内f(x)?0，则A
''''limf(x)存在
????0,???0,?x,x:0?a?x??lim1f()?x
与 时，
8、x?09、
limf(x)?Alim，则x??f(x)?A?f(x)?Af(x)x?x0是当x?x0时的
10、
答案：
limx?x0存在的充要条件是其左、右极限
1、0?x?x0?? f(x).?M 2、高阶 3、同阶 4、2
5、A与无穷小 6、≥
7、 8、A
9、无穷小量 10、存在且相等
四、计算题（每题5分） 1、x???lim(3x?23x?1)2x?10?a?x''??f(x)?f(x)??'''
)2x?1解：x???令
lim(t?3x?23x?13=x???x?3tlim(1?33x?1)2x?1
t?33x?1则
且x???limt?0