?sinx?f(x)??xx?0?1?x?0的（ ） 3、x?0是函数
A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点（第二类） D、连续点
x?b4、设f(x)在(a,b)内连续，x?aA、最小值 B、零点 C、最大值 D、极值
??limf(x)?lim?f(x)?0???则f(x)在(a,b)内必有（ ）
5、存在是f(x)在x0连续的（ ） A、必要而非充分条件 B、充分而非必要条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
x?x0limf(x)6、f(x)在x0连续的充要条件是x?x0时（ ） A、f(x)是无穷小 B、
f(x)?f(x0)??(x)(lim?(x)?0)x?x0
limf(x0)f(x?0)f(x?0)x00C、与存在 D、?x0存在
7、设f(x)在x?x0处间断，则（ ） A、f(x)在x?x0处无一定无定义
B、当f(x0?0)与f(x0?0)存在时，必有f(x0?0)≠f(x0?0) limf(x0)limf(x0)f(x)x?xx00C、当与均存在时，必有?x0≠f(x0)
D、必有
x?x0limf(x)??
8、设点x0是f(x)地连续点，是g(x)的第一类间断点，则点x0是f(x)g(x)的（ ）
A、连续点 B、可能是连续点，也可能是间断点
C、第一类间断点 D、可能是第一类间断点，也可能是第二类间断点
f(x)?4?x229、函数
x?1的连续范围是（ ）
A、(??,?1)?(1,??) B、(??,?1)?(?1,1)?(1,??) C、(?2,?1)?(?1,1)?(1,2) D、[?2,?1)?(1,2]
f(x)?x?0111?ex的（ ） 10、是
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点 答案：
1、 1、 C 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、C 8、B 9、D 10、C 二、判断题（每题2分）
1、设f(x)定义于(??,??)，f(x)在任意有限开区间（A，B）内连续，则f(x)在(??,??)连续。 （ ）
2、设f(x)定义于(??,??)，若?c，f(x)在 (??,c]和(c,??)分别连续，则f(x)在
(??,??)连续。（ ）
3、设f(x)在[a,b]有定义，在(a,b)内连续，且f(a?0)和f(b?0)均存在（为有限数），则f(x)在[a,b]上必有最大值。（ ）
4、单调函数的间断点必是第一类的间断点。（ ）
5、一个连续的函数与一个不连续的函数复合后所得的函数必不连续。（ ） 6、两个不连续函数的复合函数必不连续。（ ）
7、若对???0，f在[a??,b??]上连续，则f在(a,b)内一定连续。（ ）
f8、f在x0连续，（或f2）在x0连续。（ ）
9、设f(x)在x0不连续，g(x)在x0也不连续，则f(x)?g(x)在x0必不连续。（ ） 10、f(x)在x0局部无界的充要条件是f(x)在x0不连续。（ ）
11、f(x)在x0邻域有定义，但不连续f(x)在???0?0,???0,?x??(x0,?)使得
f(x)?f(x0)??0''（ ）
12、f(x)在(??,??)内连续，在任意[a,b]?(??,??)上一致连续，则f(x)在(??,??)一致连续。 （ ）
13、若f(x)在?(x0;?)内连续，则f(x)在?(x0;?)内能取得最大值和最小值。（ ） 14、设定义在[a,b]上的函数y?f(x)存在单值及函数y?f对一的且连续，则f?1?1(x)，若f(x)在[a,b]上一
(x)在其定义域内必连续。（ ）
15、若f(x)在[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内连续，f(a?0)和f(b?0)存在，则f(x)在(a,b)内一致连续。（ ） 答案：
1、√ 2、√ 3、× 4、√ 5、× 6、× 7、√ 8、× 9、× 10、× 11、√ 12、× 13、× 14、√ 15、√ 三、填空题（每题2分）
p?1x?,p,q为正整数，pq既约真分数?qR(x)??q?1?内无理数?0 x?0,1及?0，1、
2、
x?x0limf(x)?f(x0)1的定义是：对???0,???0，当 时，有
x3、x?0是y?2的 间断点
?ex(sinx?cosx)x?0f(x)??2x?a?4、若 x?0在点x?0连续，则a=
?sinaxx?1f(x)???a(x?1)?1 x?1在x?1连续，则a= ； 5、设
6、函数f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0处必须满足下述三个第件：①
② ③ ； 7、函数
f(x)?1x?1?2sinx的连续区间是 ；
?(x)??8、
?x,x为有理数??x,x为无理数的连续点是 ；
9、
f(x)?sin(sinx)xx则x?0为f(x)的 间断点
sinx的不连续点及类型 10、
答案：
1、无理点，有理点
f(x)?2、x?x0?? f(x)?f(x0)?? 3、第二类 4、1 5、
??2?2k? k=0，1，2，……
lim?f(x)?lim?f(x)limf(x)?f(x0)xf(x)xx?x06、①在0有定义无 ②?x0③x?x0
7、(??,?1)和(?1,??) 8、x?0 9、可去
10、x?0为可去的，x?k?为第二类的, k?0,?1,? 四、计算与应用题（每题5分）
?2x?x?0f(x)??1??x?1 x?0的连续性 1、讨论函数
x解：x?0时，2连续
1x?0时，x?1在x??1处间断
当x?0时，x?0 而f(0)?1
lim?f(x)?lim?2?2?1x?0x0
x?0lim?f(x)?lim?x?011?x?1
所以f(x)在x?0连续 故f(x)除x??1外处处连续
，使其在(??,??)上连续
x2x2sinsin1?cosx2?lim(2)2?1?1limf(x)??lim22x?0x?0x?0x22xx2解：∵ 2、 2、 延拓函数
x2f(x)?1?cosx∴延拓到(??,??)上的函数为 ?1?cosx2?xF(x)??x?01?2? x?0
3、 3、 设f(x)?sgnx,g(x)?1?x，研究复合函数f[g(x)]与g[f(x)]的连续性 解：∵g(x)?1?x?0
∴f[g(x)]?sgn(1?x)?1 ∴f[g(x)]在(??,??)上连续
g[f(x)]?1?sgn2222又
?2x?0x???1 x?0
∴g[f(x)]除了x?0为可去间断点外，在(??,0)和(0,??)内处处连续
?sinx????x?0?f(x)??00?x?1?1??x?1 1?x?44、讨论的连续性
解：f(x)的定义域为[??,4]，由于[??,0],(0,1)与[1,4]为f(x)的定义区间，故均连续 只在点x?0和x?1有可能间断 由于x?0lim?f(x)?lim?sinx?0x?0
x?0lim?f(x)?lim?0?0x?0 f(0)?0
1x?1∴x?0为连续点 又由于x?1lim?f(x)?0
x?1lim?f(x)?lim?x?1???
∴x?1为第二类间断点
故f(x)在[??,1]与[1,4]上均连续，x?1为第二类间断点 5、研究
f(x)?lim1?x1?x2n2nn???x的连续性
lim1?x1?x2n2nn??解：∵
x?1?1?x?1??0??1? x?1
2n2nf(x)?lim1?x1?xn?? ∴
x?1?x?x?1?x??0??x? x?1
显然f(?1?0)?f(?1?0)及f(1?0)?f(1?0)故 x??1有间断点，除此之外均连续
?u2?xu?1x?1f(u)??u??(x)???x?4 x?1 ?2?u u?1 6、
讨论复合函数f[?(x)]的连续性
?[?(x)]2?(x)?1f[?(x)]???2??(x) ?(x)?1 解：
由?(x)?1得x?1 即当x?1时?(x)?1 由?(x)?1得x?1 即当x?1时?(x)?1
2??x2xx?1x?1f[?(x)]?????2?(x?4) x?1??x?2 x?1 于是
当x?1时，x?1x?1lim?f???x???lim???x?2???3x?1
故x?1为f???x??的间断点，其它点均为连续点。 7、研究函数
f(x)?limxx2n2nlimf???x???1??1?1的间断点，并作出草图
n??f(x)?limxx2n2nn??解：
x?1??1?12?x?1?lim(1?2n)??0n???1x?1?1? x?1 nn ∴x??1为f(x)的第一类间断点· 8、研究函数
f(x)?limxn??1?x(x?0)的间断点及类型，并作出草图
f(x)?limxnnn??1?x解：
?1x?1?11?lim??x?1n??12?1?n?0 0?x?1 x2 故间断点为x?1，且为第一类的
limln(x?x?1)ln(x10x??9、根据初等函数的连续性求极限
?x?1)
lnx(1?limln(x?x?1)ln(x210221x1x9??1x2))?limx??解：
x???x?1)lnx(1?101x10
lnx?ln(1?limx??1x1x9??1x2)))1x10=
lnx10?ln(1?1x10
2lnx?ln(1?limx??1x1x1x2?1x?2=
10lnx?ln(1?2?ln(1?1x1x99)
??)/lnx)/lnxlimx??=
10?ln(1?1x10