9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0， b），且a 、b满足a?4 + |4－b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；
y B E F O D A x
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴
于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围. y B M O A P x Q 解答：解：①∵a?4+|4-b|=0 ∴a=4，b=4，∴A（4，0），B（0，4）； （2）作∠AOB的角平分线，交BD于G，∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA， ∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，∴△BOG≌△OAE， ∴OG=AE．∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD，∴△GOD≌△EDA．∴∠GDO=∠ADE． （3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．∵∠BPM=90°，∴∠BPO+∠MPN=90°． ∵∠AOB=∠MNP=90°，∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．∵BP=MP，∴△PBO≌△MPN， MN=OP，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN，∴MN=AN，∠MAN=45°．∵∠BAO=45°， 16
∴∠BAO+∠OAQ=90°，∴△BAQ是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．
10、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)，∠BAO=30°． （1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE．
yMEyEBOAxBOFAx
（3）在（2）的条件下，连结DE交AB于F．求证：F为DE的中点． 解答：（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，∴AB=2BO=2； （2）证明：连接OD，∵△ABE为等边三角形，∴AB=AE，∠EAB=60°， ∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D， ∴∠DAO=60°．∴∠EAO=∠NAB又∵DO=DA， ∴△ADO为等边三角形．∴DA=AO．在△ABD与△AEO中， ∵AB=AE，∠EAO=∠NAB，DA=AO∴△ABD≌△AEO．∴BD=OE． （3）证明：作EH⊥AB于H．∵AE=BE，∴AH=∵BO=NDD1AB， 21AB，∴AH=BO，在Rt△AEH与Rt△BAO中， 2AH=BO ，AE=AB ∴Rt△AEH≌Rt△BAO， ∴EH=AO=AD．又∵∠EHF=∠DAF=90°， 在△HFE与△AFD中，∠EHF=∠DAF，∠EFH=∠DFA，EH=AD ∴△HFE≌△AFD，∴EF=DF．∴F为DE的中点． 17
111.如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB.
3（1）求直线AC的解析式；
（2）在x轴上取一点D（-1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；
1解：∵ 直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点 ∴ 可得点A坐标为（-3，0），点
3B坐标为（0，1） ∵ OC=OB ∴ 可得点C坐标为（0，-1）设直线AC的解析式为y=kx+b
1将A（-3，0），C（0，-1）代入解析式-3k+b=0且b=-1可得k=-，b=-1
31∴ 直线AC的解析式为y=x-1
3解：∵ GE⊥AB ∴
kEG?kAB??1 ∴
kGE=?11=?33
''y=-3x+by=-3??????b?0 设直线GE的解析式为将点D坐标（-1，0）代入，得'1b∴ ??3∴ 直线GE的解析式为y=-3x-3 联立y=x-1与y=-3x-3，可求出
333
?3x??34，∴ F点的坐标为（?4，?4） 4，将其代入方程可得y=
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12.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1. （1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？
（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。
解：（1）因为直线AB：y=-x－b过点A（6，0）.就可以得到 b=-6 即直线AB：y=-x+6 ∵B为直线AB与y轴的交点∴点 B （0，6） ∵OB：OC=3：1∴OC=2 点 C（-2，0） 已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为y=kx+m
带入B、C的坐标。可以算出k=3 ,m=6 所以BC的解析式为：y=3x+6
(2) 假设 存在满足题中条件的k值因为直线EF: y=kx-k（k≠0）交x轴于点D。
所以D点坐标为（1,0）在图中标出点D,且过点D做一直线，相交与直线AB,BC分别与点E,F然后观察△EBD和△FBD 则 S△EBD= FBD=
1DE3h S△21DF3h 2两个三角形的高其实是一样的 要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了
∵点E在直线AB上，∴设点E的坐标为（p，-p+6）
∵点F在直线BC上，∴设点F的坐标为（q，3q+6） 而上面我们已经得到点D的坐标为（1,0）
点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即：（p+q)/2=1 (-p+6+3q+6)/2=0
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959353，q=- 点E的坐标即为（，），点F的坐标即为（-，-） 22222233把点E代入直线EF 的解析式，得到k=所以存在k，且k=
77这样就可以求得：p=
(3) K点的位置不发生变化
理由：首先假设直线QA的解析式为y=ax+b，点P的坐标为（p，0）过点Q作直线QH垂直于x轴，交点为H
这样图中就可以形成两个三角形，分别是△BOP和△PHQ，且两个三角形都是直角三角形。 ∵△BPQ为等腰直角三角形，直角顶点为P ∴BP=PQ，∠BPO+∠QPH=180o—90o=90o 又∵在直角三角形中，∴∠QPH+∠PQH=90o
∴根据上面两个等式，我们可以得到∠BPO=∠PQH 且PB=QP
所以在△BOP和△PHQ中
∠BOP=∠PHQ ∠BPO=∠PQH
PB=QP
∴△BOP≌△PHQ（AAS）
∴OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等） ∴点Q的坐标为（p+6，p）
然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中，得到： a=1，b=-6
也就是说a,b为固定值，并不随点P（p，0）的改变而改变
这样直线QA：y=x-6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了。 求得点K的坐标为（0，-6）
1.已知，如图，直线AB：y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D.
（1）求直线BD的解析式；
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