2007年高考数学试题分类汇编13——导数
(18) (安徽理 本小题满分14分)
设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
(20)(安徽文 本小题满分14分)
设函数f（x）=-cosx-4tsin
2
xx22
cos+4t+t-3t+4,x∈R, 22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 19．（北京理 本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD?2x，梯形面积为S．
（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值． 19．（共13分）
D C 4r A 2r B 解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O?xy（如图），则点C的横坐标为x．
x2y2点C的纵坐标y满足方程2?2?1(y≥0)，
r4r解得y?2r2?x2(0?x?r)
y D C S?1(2x?2r)2r2?x2 2 ?2(x?r)r2?x2，
A O B x 其定义域为x0?x?r．
（II）记f(x)?4(x?r)(r?x)，0?x?r， 则f?(x)?8(x?r)(r?2x)． 令f?(x)?0，得x?2222??1r． 2因为当0?x?rr时，f?(x)?0；当?x?r时，f?(x)?0，所以22?1? f?r?是f(x)的最大值．
?2?因此，当x?1r时，S也取得最大值，最大值为2?1?332f?r??r．
2?2?即梯形面积S的最大值为332r． 213x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 3 3 ．
9．(北京文)f?(x)是f(x)?x?0时，)g(?x)?g(x，且)11．（福建理、文）已知对任意实数x，有f(?x)??f(x，f?(x)?0，g?(x)?0，则x?0时（ B ）
A．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0
B．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0
22．（福建理 本小题满分14分） 已知函数f(x)?ex?kx，x?R
（Ⅰ）若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若k?0，且对于任意x?R，f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)F(2)F(n)?(en?1?2)(n?N?)．
n222．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
xx解：（Ⅰ）由k?e得f(x)?e?ex，所以f?(x)?e?e．
，??)， 由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递增区间是(11)． 由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递减区间是(??，（Ⅱ）由f(?x)?f(x)可知f(x)是偶函数．
于是f(x)?0对任意x?R成立等价于f(x)?0对任意x≥0成立． 由f?(x)?e?k?0得x?lnk．
x
①当k?(0，1]时，f?(x)?ex?k?1?k≥0(x?0)．
??)上单调递增． 此时f(x)在[0，故f(x)≥f(0)?1?0，符合题意．
，??)时，lnk?0． ②当k?(1当x变化时f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (0，lnk) lnk 0 极小值 (lnk，??) ? 单调递减 ? 单调递增 ??)上，f(x)≥f(lnk)?k?klnk． 由此可得，在[0，?1?k?e． 依题意，k?klnk?0，又k?1，综合①，②得，实数k的取值范围是0?k?e．
（Ⅲ）
F(x)?f(x)?f(?x)?ex?e?x，
?F(x1)F(x2)?ex1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)?2?ex1?x2?2， ?F(1)F(n)?en?1?2，
F(2)F(n?1)?en?1?2
F(n)F(1)?en?1?2.由此得，[F(1)F(2)故F(1)F(2)F(n)]2?[F(1)F(n)][F(2)F(n?1)][F(n)F(1)]?(en?1?2)n
n?1F(n)?(e2?2)，n?N?．
n220．（福建文 本小题满分12分）
设函数f(x)?tx?2tx?t?1(x?R，t?0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；
22)恒成立，求实数m的取值范围． （Ⅱ）若h(t)??2t?m对t?(0，20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）
f(x)?t(x?t)2?t3?t?1(x?R，t?0)，
?当x??t时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，
即h(t)??t3?t?1．
（Ⅱ）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t3?3t?1?m， 由g?(t)??3t2?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）． 当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：
t g?(t) g(t) (0，1) 1 (1，2) ? 递增 0 极大值1?m ? 递减 ?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m．
h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，
即等价于1?m?0，
所以m的取值范围为m?1．
20．(广东理、文 本小题满分14分)
已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有 零点，求a的取值范围．
20解: 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在上没有零点, 所以 a?0 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0 得 a?2?3?7 2 当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 当 f??1?f?1???a?1??a?5??0 即 1?a?5 时, y?f?x?也恰有一个零点
在??1,1?上;
当 y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则
??a?0?a?0???8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0 ???1??1??1 或??1??1?1?2a?2a
??f?1??0???f??1??0?f?1??0?f??1??0解得a?5或a??3?52 因此a的取值范围是 a?1 或 a??3?52 ;
12．（广东文）函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是 ． 12. ??1??e,????
110．（海南理）曲线y?e2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（Ａ．
92
Ｂ．4e2
Ｃ．2e22e
Ｄ．e2
21．（海南理 本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(x?a)?x2
（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2． 21．解： （Ⅰ）f?(x)?1x?a?2x， 依题意有f?(?1)?0，故a?32． 从而f?(x)?2x2?3x?1?(2x?1)(x?1)x?33． 2x?2f(x)的定义域为????32，?∞??3?，当?2?x??1时，f?(x)?0；
）