记总造价为f1(x)万元， 据题设有f1(x)?(PD?1?221111AD?AO)a?(x2?x??3)a 2241???43???x??a???3?a
4???16?11，即BD?(km)时，总造价f1(x)最小． 445（II）设AE?y(km)，0≤y≤，总造价为f2(y)万元，根据题设有
4当x?y?43?1?31???f2(y)??PD2?1?y2?3????y??a??y2?3??a?a．
2?162?24?????y1??则f2?y?????a，由f2?(y)?0，得y?1．
?y2?32???1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，当y?(0，1)内是减函数；
当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数． 故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为
?5??4??5??4?67a万元． 16（III）解法一：不存在这样的点D?，E?． 事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?．为使总造价最小，E显然不能位于D? 与B之间．故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，0≤x1?y2≤元，则S??x1?3，总造价为S万2??2x1x1y11?2、（II）讨论知，x1?1≥?，?y12?3?1??a．类似于（I）
216224?y131≥，当且仅当x1?，y1?1同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时224167BD??(km)，AE?1(km)，S取得最小值a，点D?，E?分别与点D，E重合，所以不存
416在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价． y12?3?解法二：同解法一得
xy11??S??x12?1?y12?3?1??a
224??1?1???x1??a??3?4?4??2?y12?3?y1???43y12?3?y1?a?a
??16?143≥?23(y12?3?y1)(y12?3?y1)?a?a 41667?a． 161122当且仅当x1?且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?，y1?1同时成立时，S取得最小值
4467a，以上同解法一． 1621．（湖南文 本小题满分13分） 已知函数f(x)?21312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内各有一个极值点． 32（I）求a?4b的最大值；
，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数（II）当a?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一
侧），求函数f(x)的表达式． 21．解：（I）因为函数f(x)?21312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内分别有一个极值点，所以32，，(1，3]内分别有一个实根， f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是
且当x1??1即a??2，b??3时等号成立．故，x2?3，0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，
a2?4b的最大值是16．
，f(1))处的切线l的方程是 （II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(121y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，
32，f(x))处空过y?f(x)的图象， 因为切线l在点A(1所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 32x?1不是g(x)的极值点．
而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．
若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．
2所以1??1?a，即a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?13x?x2?x． 3解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，因为切线l在点A(1于是存在m1，m2（m1?1?m2）．
当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x??1?2??3a??3a?x?2????，则 2??2?当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?2所以a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 329．（江苏）已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有
f(x)?0，则
f(1)的最小值为 f'(0)53 C．2 D． 22313．（江苏）已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? ▲ . A．3 B．
29．（江西理）已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都
有f(x)?0，则
f(1)的最小值为 f'(0)53 C．2 D． 22A．3 B．
13．（江西理）已知函数f(x)?x3?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? ▲ .
8．（江西文）若0?x?Ａ．sinx?2x ππ，则下列命题正确的是（ ） 223Ｂ．sinx?x Ｃ．sinx?x
ππＤ．sinx?3x π12．（辽宁理）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x?0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ） ．．．A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 22．（辽宁理 本小题满分12分）
已知函数f(x)?x2t?2t(x2?x)?x2?2t2?1，g(x)?（I）证明：当t?22时，g(x)在R上是增函数；
（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数 k，当t?k时，g(x)在闭区间[a，b]上是减函数；
（III）证明：f(x)≥1f(x)． 23． 222．（辽宁文 本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?9x2cos??48xcos??18sin2?，g(x)?f?(x)，且对任意的实数t均有
g(1?cost)≥0，g(3?sint)≤0．
（I）求函数f(x)的解析式；
6]，恒有f(x)≥x?mx?11，求x的取值范围． （II）若对任意的m?[?26，（20）（全国一 理 本小题满分12分） 设函数f(x)?e?e．
（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；
x?x2（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． （20）解：
（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x． 由于ex?e-x≥2exe?x?2，故f?(x)≥2． （当且仅当x?0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则
g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，
（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥0，
故g(x)在(0，∞?)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．
（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为xa?a2?41?ln2，
此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．
所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． （11）（全国一文）曲线y?133x?x在点???1，4?3??处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（Ａ．
1Ｂ．
2129 9 Ｃ．
3 Ｄ．
3 （20）（全国一文 本小题满分12分）
设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围． 20．解：
（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．
）