当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0． 2从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少． 2?2x2?2ax?1（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，． ?∞)，f?(x)?x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值．
（ⅱ）若??0，则a?2或a??2．
(2x?1)2若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2??2??22?x??2，??，?∞当x??时，f(x)?0，当时，f?(x)?0，所以f(x)无????????2??22??极值．
(2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值． ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根
?a?a2?2?a?a2?2，x2?． x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方
法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)．
f(x)的极值之和为
1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln．
2210．（海南文）曲线y?ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
92Ａ．e
4
Ｂ．2e
2Ｃ．e
2e2Ｄ．
219．（海南文 本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(2x?3)?x2 （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）求f(x)在区间??，?的最大值和最小值．
4419．解：f(x)的定义域为??，?∞?．
?31????3?2??24x2?6x?22(2x?1)(x?1)?2x??（Ⅰ）f?(x)?． 2x?32x?32x?3当?311?x??1时，f?(x)?0；当?1?x??时，f?(x)?0；当x??时，f?(x)?0． 222从而，f(x)分别在区间??，?1?，??，?∞?单调增加，在区间??1，??3?2???1?2????1??单调减少． 2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间??，?的最小值为f????ln2?．
4424又f????f???ln?31????1???1?3??4??1??4?3971311?49???ln??ln???1?ln??0． 216216722?6??1?17所以f(x)在区间??，?的最大值为f????ln． 444162????20．（湖北理 本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数f(x)??31?12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两曲线2y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值； （II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）．
20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
3a2，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)． ∵f?(x)?x?2a，g?(x)?x?122x?2ax?3alnx0?b，00?3a2?2即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x0?2a?，?x0?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna． 22522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是
2即有b?当t(1?3lnt)?0，即0?t?e时，h?(t)?0； 当t(1?3lnt)?0，即t?e时，h?(t)?0．
1???1?3故h(t)在?0，e?为增函数，在?e3，?∞?为减函数，
????1313?1?323?∞)的最大值为h?e??e3． 于是h(t)在(0，??2（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?12x?2ax?3a2lnx?b(x?0)， 23a2(x?a)(x?3a)?(x?0)． 则F?(x)?x?2a?xx?∞)为增函数， 故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0． 于是函数F(x)在(0，故当x?0时，有f(x)?g(x)≥0，即当x?0时，f(x)≥g(x)．
，f(1))处的切线方程是y?13．（湖北文）已知函数y?f(x)的图象在点M(1f(1)?f?(1)?＿＿＿＿．
19．（湖北文 本小题满分12分）
1x?2，则22设二次函数f(x)?x?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1．
（I）求实数a的取值范围； （II）试比较f(0)f(1)?f(0)与
1的大小．并说明理由． 1619．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?x2?(a?1)x?a，
????0，则由题意可得??1?a?0??1，???a?0，??1?a?1，?0?a?3?22． ?2?g(1)?0，??a?3?22，或a?3?22，??g(0)?0，故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．
（II）f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，令h(a)?2a2．
当
a?0时，
h(a)单调增加，
?当0?a?3?220?h(a?)h(?32?22?)2(?3 2?2)2(17?2117?122?116，即f(0)f(1)?f(0)?116．
解法2：（I）同解法1． （II）
f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，由（I）知0?a?3?22，
∴42a?1?122?17?0．又42a?1?0，于是 2a2?116?116(32a2?1)?116(42a?1)(42a?1)?0， 即2a2?116?0，故f(0)f(1)?f(0)?116． 解法3：（I）方程f(x)?x?0?x2?(a?1)x?a?0，由韦达定理得
????0，x?x?0，xxx??121?2?1?a，x1x2?a，于是0?1?x2?1??x1x2?0， ??(1?x1)?(1?x2)?0，??(1?x1)(1?x2)?0???a?0，?a?1，?0?a?3?22． ??a?3?22或a?3?22故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．
时，
122)（II）依题意可设g(x)?(x?x1)(x?x2)，则由0?x1?x2?1，得
f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?x1x2(1?x1)(1?x2)?[x1(1?x1)][x2(1?x2)]
11?x?1?x1??x2?1?x2?f(0)f(1)?f(0)?，故． ??1????1622????16
13．（湖南理）函数f(x)?12x?x3在区间[?3，3]上的最小值是 ．
19．（湖南理 本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??222，点P到平面?的距离5PH?0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元
a/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为
2(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，OA?3(km)．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小． （III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
A
Ｏ
E
D
B
19．解：（I）如图，PH⊥?，HB??，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，
P
H
PHPB??1．
sin?设BD?x(km)，0≤x≤1.5．则
A O ? ED P H
B
2]． PD?x2?PB2?x2?1?[1，