?1??1?（Ⅱ）证法一：因f?2x??f?2???1????1??
?n??n??1??1??1??2?1????1???2?1???n??n??n?nn2n22n2n?1??1???1???2?1?? ?n??n?n?1??1??1??1??2?1??ln?1???2?1??ln?1???2f'?x?
?n??2??n??n??1??1??1??1??1?证法二：因f?2x??f?2???1????1???2?1????1???2?1???n??n??n??n??n?2n22n2n?1???1?? ?n??1??1?而2f?x??2?1??ln?1??
?n??n?'n故只需对?1???1??1?和ln??1??进行比较。 n??n?'令g?x??x?lnx?x?1?，有g?x??1?由
1x?1? xxx?1?0，得x?1 x''因为当0?x?1时，g?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g?x??0，g?x?单调递
增，所以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx 故有?1???1??1??ln??1??恒成立。 n??n?'所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。
2k?1??Cm????m?km?1??Cm?? ?m?m（Ⅲ）对m?N，且m?1
?1?01?1?2?1?有?1???Cm?Cm??Cm?????mmm??????m?m?1??1??1?1?????2!?m?2m?m?m?1?k!?m?k?1??1?k????m??m?m?1??m!2?1?1??? ?m?m?2?1?1??1???2!?m??1?1??2?1?1?????k!?m??m??k?1??1???m??1?1?1???m!?m??m?1??1??
m???2?11??2!3!?1?k!?1 m!?2?11??2?13?2?1?k?k?1??1
m?m?1?1??1???? ?m?1m??1??11??2??1????????2??23??3?1?3 mk1??1??????k?1k?k?1?又因Cm???0?k?2,3,4,?m?m?1?,m?，故2??1???3
?m?kmn?1??1?∵2??1???3，从而有2n???1???3n成立，
k??m?k?1??1?即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。
k?k?1?20、（四川文 本小题满分12分）设函数f(x)?ax3?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12． （Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能
力和运算能力．
（Ⅰ）∵f(x)为奇函数，
∴f(?x)??f(x)
即?ax?bx?c??ax?bx?c ∴c?0
∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12 ∴b??12
又直线x?6y?7?0的斜率为因此，f'(1)?3a?b??6 ∴a?2，b??12，c?0．
233nk1 6（Ⅱ）f(x)?2x3?12x． f'(x?)26x?1?2x6?(?2 0 极大 x2?，列表如下：)(2) (?2,2) ? x f'(x) f(x) (??,?2) 2 0 极小 (2,??) ? ? 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??)
∵f(?1)?10，f(2)??82，f(3)?18
∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82． 20．（天津理 本小题满分12分）
2ax?a2?1(x?R)，其中a?R． 已知函数f(x)?2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2x4f(2)?，， 2x?1562(x2?1)?2x·2x2?2x2?f(2)??又f?(x)?，． ?25(x2?1)2(x2?1)2所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?2y?32?0．
46??(x?2)， 5252a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)（Ⅱ）解：f?(x)?． ?(x2?1)2(x2?1)2由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??1，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情a况如下表：
x f?(x) f(x) 1???∞，??? a??? 1 a0 极小值 ?1??，a?? ?a?a 0 极大值 (a，?∞) ? ? ? 所以f(x)在区间??∞，???1??1?，内为减函数，在区间(a，?∞)?，a???内为增函数． a?a???1?f?????a2， ?a?函数f(x)在x1??函数f(x)在x2?1?1?处取得极小值f???，且a?a?1处取得极大值f(a)，且f(a)?1． a1（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况
a如下表：
x f?(x) f(x) ??∞，a? ? a 0 极大值 1??a，??? a???1 a?1??，+∞?? ?a?? 0 极小值 ? 所以f(x)在区间(?∞，a)，??，+∞?内为增函数，在区间?a，?函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2???1?a????1??内为减函数． a?1处取得极小值a?1?f???，且?a??1?f?????a2． ?a?（21）（天津文 本小题满分14分）
设函数f(x)??x(x?a)（x?R），其中a?R．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a?3时，证明存在k???10，?，使得不等式f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的
2x?R恒成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x，得f(2)??2，且
f?(x)??3x2?4x?1，f?(2)??5．
所以，曲线y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得
5x?y?8?0．
（Ⅱ）解：f(x)??x(x?a)2??x3?2ax2?a2x
f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a)．
令f?(x)?0，解得x?a或x?a． 3由于a?0，以下分两种情况讨论．
（1）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x a???∞，?? 3??a 30 ?a?，a?? 3??a (a，∞?) f?(x) ? ? 0 ? 因此，函数f(x)在x?a处取得极小值3?a?f??，且 ?3?4?a?f????a3；
27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且
f(a)?0．
（2）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x ??∞，a? a ?a??a，? ?3?a 3?a?，∞??? ?3?