知识改变命运，学习成就未来
2v2 mg?m ④
R2 ??mg?L1?L??2mgR2?1122mv2?mv0 ⑤ 22由④⑤得 L?12.5m ⑥ （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
2v3 mg?m ⑦
R3 ??mg?L1?2L??2mgR3?由⑥⑦⑧得 R3?0.4m
1212mv3?mv0 ⑧ 22II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理 ??mg?L1?2L??2mgR3?0?解得 R3?1.0m 为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 ?R2?R3??L??R3-R2?
22212mv0 2解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 0?R3?0.4m 或 1.0m?R3?27.9m
当0?R3?0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则 -?mgL??0?12mv0 2 L??36.0m
当1.0m?R3?27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则 L???L??2?L??L1?2L??26.0m
10.（09·浙江·24）（18分）某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所
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示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记。图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=10 ）
答案：2.53s
解析：本题考查平抛、圆周运动和功能关系。
设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律 S?v1t h?12gt 2解得 v1?SR?3m/s 2h设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
2v2 mg?m
R
1212mv3?mv2?mg?2R? 22解得 v3?5gh?4m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin?4m/s 设电动机工作时间至少为t，根据功能原理
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Pt?fL?由此可得 t=2.53s
11.（09·四川·25） (20分)如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆
周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s。那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。 (3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。 解析：（1）设弹簧的弹力做功为W，有：
2
-1
-2
12mvmin 2mgR?W?1212mv?mv0 ① 22代入数据，得：W＝?2.05J ②
（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v1和V，并令水平向右为正方向，有: mv??mv1?MV ③ 而： v1?Bqr ④ mmv?Bqr ⑤ M若P、N碰后速度同向时，计算可得V 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 13 页 共 25 页 知识改变命运，学习成就未来 VV? ⑥ V1v1cos??gtN?V1sin??v1sin? ⑦ 代入数据，得： tN?3s ⑧ 4对小球P，其圆周运动的周期为T，有： T?2?m ⑨ Bq经计算得： tN＜T， P经过tP时，对应的圆心角为?，有： tP??T ⑩ 2?当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有： ?1???? 联立相关方程得： tP1?2?s 15比较得， tN?tP1，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。 当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有： a2????， 同上得： tP2??15， 比较得， tN?tp2，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同。 （3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，tN?tP?t， m2g??2n?1???????再联立④⑦⑨⑩解得： r??n?0,1,2?? 22Bqsin?当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同tN?tP?t， ????m2g?同理得： r?， B2q2sin?m2g??2n?1???????考虑圆周运动的周期性，有: r??n?0,1,2?? 22Bqsin?（给定的B、q、r、m、?等物理量决定n的取值） 12.（09·广东物理·17）（20分）（1）为了清理堵塞河道的冰凌， 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 14 页 共 25 页 知识改变命运，学习成就未来 空军实施了投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） （2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求 ①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速度。 解析：?炸弹作平抛运动，设炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平距 x?v0t H?联立以上各式解得x?v0离为x, 12gt 22H g设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v vy?gt?22?vy 2gH v?v0联立以上各式解得v?v0?2gH ?①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得 摩擦力的大小f?mgsin??2HH?RRH?R222 支持力的大小N?mgcos??2 ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为?有 R 2H 由几何关系得 tan?? R2 mgtan??m??联立以上各式解得??2gH R13.（08宁夏理综30）图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从转动的半径为r2. 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 15 页 共 25 页