X(Y?X?)?0T
则该方程组的解就是回归系数?的最小二乘估计。 ? 误差分析以及回归系数?的区间估计 （1） 误差方差?2的估计
?代回模型(1)得到y的估计值为： 将????y??0?x
??imi?1m残差ei及残差平方和Q的定义与一元回归相同，而剩余方差（?2的无偏估计）为：
?2s??2?Qn?m?1
因为模型中参数的个数为m?1，所以Q的自由度为n?(m?1)。 （2） 回归系数?的区间估计
?与Q的定义具有性质： 根据多元回归的基本假设，??~N(?,?c),j?1,2?m与?jjjj2Q?2~?(n?m?1)2
T?1?与Q相互独立，c是矩阵(?其中?X?X)的第j对角元素。 jj根据定义可以得到t统计量
tj????)?(?jjcjj2?????jjscjjQ(n?m?1)?~t(n?2)
给定显著性水平?，t(n?2)的1??2分位数为t(n?2),1??2，?j的置信区间
(j?1,2?m)是：
??t??t??scjj,?scjj?j(n?2),1??2j(n?2),1??2??(6)
同样的可以确定?0的置信区间为：
????0?t(n?2),1??2s?TT1??1?x(X?X)x?,??t(n?2),1??2s0nTT1??1??x(XX)x??n?T(7)
其中x?(x1,?,xm)。
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同理可以得到Y的1??置信区间为
???Y?t(n?2),1??2s?T1??1?x(X?X)x?,Y?t(n?2),1??2snTT1??1??x(XX)x??
n?T根据本文所收集的数据，可以建立一个简单的数据库，其详细情况见表7：
表7 高等教城镇居 因素 农村居人均国育成本民家庭 民家庭内生产学费 （生均人均可生均拨款 人均纯总值教育成支配收年份 收入 （元） 本） 入 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 1816.25 2137.22 2914.22 3456.17 3962.22 4316.94 4554.39 4849.59 5063.17 5176.65 7247.8 7652.7 8092.1 8096.4 7521.2 6816.1 6354.4 6158.6 5922 6341.1 2090.10 2162.00 2210.30 2253.42 2366.40 2475.63 2622.24 2936.40 3254.93 3587.04 5160.30 5425.10 5854.00 6279.98 6859.58 7702.80 8472.20 9421.61 10493.03 11759.45 9632.813485 10465.0572 10719.88679 9552.148034 8923.55181 8326.096794 7582.337182 7272.522685 6984.589218 6969.650564 6420 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14103 16084 资料来源：中国年鉴（1997~2006）、中国教育经费统计资料、中国教育经费统计年鉴（1997~2006）等 通过表7的数据以及多元回归模型，本文得到学费与这五个因素之间曲线模
型为：
Y??0??1X1??2X2??3X3??4X3??5X4??6X4??7X5??8X5
33333注：?0??9631.48，?1?3.42?10?9，?2?1.01?10?8，?3??4.946，?4?3.15?10?7，
?9?9?5?1.646，?6??5.97?10，?7?1.153，?8??6.45?10；方程的拟合优度
R?0.9958，剩余标准偏差S?0.000。
5.2.3专业学费标准模型
高等教育事业是一个关乎国家的重要的公共事业，细分到某一个专业，就需要因时因地的不同而不同，要想研究某一个地区的不同专业的学费标准，就需要
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引入地区发展不平衡系数和专业不平衡系数来对其影响的各因素综合考虑。本文在全国所有专业学费研究的基础上继续分析某个省份某个专业的学费标准。
在影响全国学费标准的因素中，生均培养费用与生均拨款会随专业的不同而不同，农村居民家庭纯收入、城市人均可支配收入、人均国内生产总值则受到地区的不同而不同。为此，在全国所有专业标准学费确定模型的基础上，本文建立针对某个地区某个专业的标准学费的数学模型：
Y????2?0??(?1X1??5X4??6X4)??(?2X2??3X3??3X3??7X5??8X5)
33333注：Y为某地区某专业的学费标准，X1是生均教育成本，X2城镇家庭人均可支配收入，X3农村居民家庭人均纯收入，X4生均拨款，X5人均国内生产总值，
?ii?0,1,?,8为上述模型所得到的参数，?为专业不平衡系数，?为地区发展
不平衡系数。
5.3 考虑因素之间关联的四维微分方程动力学模型
通过上述模型的分析，本文在考虑各因素之间关联后，使用微分方程形式对学费的确定问题进行分析。 5.3.1 模型准备
在考虑因素之间的关联后，本文假设学费标准Y(t)是时间t的函数；?，?，
?，??0分别为家庭人均纯收入、政府的生均经费投资标准、高校的招生人数、
高校的生均培养费用；??0为大学生投资成本系数，它与大学生投资回报系数成反比。
（注：为了表示模型的不同，本文采用不同的符号表示上述模型中的相同数据。）
若设高校的生均培养费用?、大学生的投资成本系数?固定为常数，而居民人均纯收入?、政府的生均经费投资标准?与高校的招生人数?都是时间t的函数。
本文在实际状况的条件下做出以下假设：
（1）Y(t)的时间相对变化率与高校的招生人数、居民人均纯收入、政府生均经费投入成正相关，而与生均培养费用成反相关，与大学生的投资成本系数成负的线性相关（不妨设有关的比例系数为1）。 （2）如果学费标准较高（或较小），就需要政府充分考虑学校的承受能力，通过加大（或减少）相对生均教育经费投入来进行合理的调控 （3）如果政府生均经费投入较多（或较少），那么家庭在教育上的支出减少（或增加），从而使得家庭人均纯收入相对增加（或降低）。 （4）如果家庭人均纯收入较高（或较低），能够支付高校费用的人数也增加（或减少），那么高校的招生人数也发生增加（或减少）。 5.3.2 模型建立
在政府给定高校一个学费基数Ym，家庭人均纯收入有一个标准?m，政府的生均经费投资有一个标准?m，且高校的招生人数在一个标准?m时，根据前面的假设，我们得到如下关于学费标准、高校的招生人数、居民人均纯收入与政府生
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均经费投入之间的四维微分方程动力学模型：
?1?Y??1?????1???1????dYdtd?dtd?dtd?dt??????????Y?p(Ym?Y)?????(8)
?q(???m)?l(???m)其中：p，q，l?0为比例系数。
根据Routh?Hurwitz判别准则和稳定性判别法，以及极值分析，我们得到四维耦
合微分方程运动模型有平衡点：
(Y,?,?,?)?(Ym,?m,?m,?Ym????m??m)??(9)****
将(8)式在(9)式处可以得到线性化系统矩阵如下：
???Ym??p?m??0??0Ym?pYmq?m0Ym0q?ml?*Ym??0? 0??l?m?2它的特征方程为：
r?(?Ym?pYm?q?m?l?m)r?[?pYm?((??p)(?l?m?q?m)?p?m)Ym?ql?m?m]r?[?p(?l?m?q?m)Ym?(?p?m?m(l?q)?l?m?m(p??)?pq?m)Ym]r?pql??m?mYm?pql?m?m(???m??m)Ym?0?????(10)
2*22432上述方程的所有根具有负实部的必要条件是方程(10)的所有系数均为正，即：
??Ym?pYm?q?m?l?m?0?2??pYm?[(??p)(?l?m?q?m)?p?m]Ym?ql?m?m?0??(11) ?22??p(?l?m?q?m)Ym?(?p?m?m(l?q)?l?m?m(p??)?pq?m)Ym?0?pql???Y2?pql??(?*????)Y?0mmmmmmmm?由此可得条件(12)式。再根据平衡点的稳定性判别法，我们得到平衡点(9)式稳定的必要条件是(12)式成立。
??*??m??m?*2??m????mq?m?l?m?m????m?m?m(?l?pq)?pq?m???(12),,}?Ym??max{???p??p(l?m?q?m)? 18
在对模型（1）利用函数极值分析，本文得到高校扩大学费收取Y(t)的估计应为：
Ym?Y(t)??m??m??(t)??????(13)
经过上述分析，本文认为该模型可以给出稳定的学费资费标准。同时由于各种影响因素之间比例不为1，因此，本文在不影响(8)式模型稳定性的条件下，加入正相关系数bi?0i?1,2,?,5，以改进模型如下：
?1?Y??1?????1???1????dYdtd?dtd?dtd?dt?b1??b2??b3??b4??b5?Y?p(Ym?Y)?????(14)
?q(???m)?l(???m)为了确定其相关系数，本文使用差分模型对未知参数进行求解，通过分析
10年数据（表8）得到未知参数。模型如下：
?Y(i)?Y(i?1)?(b1?(i)?b2?(i)?b3?(i)?b4??b5?S(i))Y(i)???(i)??(i?1)?p(Ym?Y(i))?(i) i?2,3,?,10???(i)??(i?1)?q(?(i)??m)?(i)??(i)??(i?1)?l(?(i)??)?(i)m?(15)
表8 年份 学费（元） 生均拨款(元) 在校生人数（万人） 全国居民家庭人均纯收入（元） 生均培养成本（元） 大学生5年内投资成本率 1997 1816.25 9632.813485 10465.0572 10719.88679 9552.148034 8947.935806 8326.096794 7582.337182 7272.522685 6984.589218 6442.582816 317.4 340.9 413.4 556.09 719.07 903.36 1108.6 1333.5 1561.7767 1738.8 1944.41 2113.26 2344.84 2582.93 2897.33 3332.55 3761.24 4276.91 4866.97 5538.68 7247.8 7652.7 8092.1 8096.4 7521.2 6816.1 6354.4 6158.6 5922 6341.1 0.223005218 0.27677064 0.402268796 0.506816684 0.641395677 0.730620297 0.835073069 1.133773993 0.806776926 1.200869429 1998 2137.220864 1999 2914.215356 2000 3456.168093 2001 3962.21996 2002 4316.943475 2003 4554.390101 2004 4849.587553 2005 5063.170763 2006 5176.649843 资料来源：中国年鉴（1997~2006）、中国教育经费统计资料、中国教育经费统计年鉴（1997~2006）等 表格分析：
? 在近几年生均培养成本与大学生投资成本率分别维持在6000与1上下波动。 ? 政府生均拨款逐年下降，学费逐年上升，符合四维微分方程动力学模型中的
假设。
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