? 人均纯收入逐年上涨，带动在校学生人数逐年加快上升。 ? 生均拨款减少了，居民家庭人均纯收入相对变化率减少了。
据上述分析，数据变化与四维微分方程动力学模型的假设相符，可以使用该模型进行问题分析。将数据带入(15)式，本文得到各个比例系数为：
b1?9.2359?10-5，b2?3.8598?10-5，b3?2.3491?10-4，b4?1.3351?10-7，
l?0.32404，，p?0.14466，Ym?3000，?m?24155，q?0.17005，
b5?3.9937?10-5?m?8481。
由此可以得到新的四维微分方程模型为：
?1?Y??1?????1???1????dYdtd?dtd?dtd?dt?9.2359?10??3.8598?10??2.3491?10??1.3351?10??3.9937?10?Y?0.14466(3000?Y)(16)?0.17005(??24155)?0.32404(??8481)-5-5-4-7-5 通过模型稳定解的分析，本文发现国家的学费标准长期来看应稳定到3000元，而各个学校则根据专业不平衡系数和地区发展不平衡系数制定学费标准。据此，本文改进上述模型得到考虑地域和专业的新式模型为：
?1?Y??1?????1???1????dYdtd?dtd?dtd?dt?b1???b2???b3??b4???b5?Y?p(Ym?Y)?????(17)?q(?????m)?l(?????m)
注：Y为各地区各专业学费，?为家庭人均纯收入，?为政府的生均经费投资，
?高校的招生人数，?为高校的生均培养费用，?为大学生投资成本系数，?为
专业不平衡系数，?为地区发展不平衡系数，bi(i?1,2,?,5)、p、q、l为相应参数。
5.4 模型应用
为了说明本文建立的模型的合理性与分析我国现在某几类专业的学费标准，本文以2007年为例进行研究，通过查阅资料可以得到2007年的有关数据，其详细情况为：城镇居民人均可支配收入为12797.00元，农村居民人均纯收入
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3945.10元，生均培养成本为5696.1元，生均教育拨款6019.6元，人均国内生产总值17034元。
同时依据代表广泛性原则，随机选取全国31省市13类专业中5个（表9）作为代表来研究所得模型准确性和当前学费合理性。
表9 选取地区及北京市艺术山东省医学广东省信息甘肃省数学吉林省外语其专业 类 类 类 类 类 现实中所收10000 4800 4180~4560 2300~5000 4600~9800 学费（元） 根据上述两个模型，将以上数据分别带入两个模型进行求解得到这5个代表专业的2007年学费如下表：
表10 序地区与多元回归模型所得学费的1??置信区间现实中所收学费号 专业 学费（元） （元） （元） 北京市[9636.38,11507.96] 1 10572 10000 艺术类 山东省[3747.04,4474.50] 2 4111 4800 医学类 广东省[3953.04,4720.96] 3 4337 4180~4560 信息类 甘肃省[2790,3332] 4 3061 2300~5000 数学类 吉林省[4819.84,5756.16] 5 5288 4600~9800 外语类 注：多元回归模型，??0.05 表11 序地区与四维微分方程动力学模高校扩大学费收取现实中所收学费号 专业 型所的学费（元） 区间（元） （元） 北京市[8122,12043.17] 1 8122 10000 艺术类 山东省[4205,6233.56] 2 4205 4800 医学类 广东省[4852,7192.98] 3 4852 4180~4560 信息类 甘肃省[3049,4519.56] 4 3049 2300~5000 数学类 吉林省[4115,6100.11] 5 4115 4600~9800 外语类 注：四维微分方程动力学模型
结果分析：
? 在进行回归分析中，本文还找出上述地区和专业学费的1??置信区间，发现
除了山东省医药类外，其他所抽查的学费均在置信区间之内，模型较为准确的反映学费标准。
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? 在用四维微分方程动力学模型时，本文找出高校扩大学费收取区间，发现除
了广东省信息类外，其他所抽查的学费均在高校扩大学费收取区间之内，模型较为符合实际情形。
? 对所选地区与专业的学费进行分析，本文发现现有的高等教育学费基本上是
合理的，但是普遍偏下，存在着很大的上升浮动区间与趋势。
六、模型的评价
本文以学费标准的多元回归模型为主，同时使用学费标准的四维微分方程动力学模型进行进一步分析，对我国现行学费标准进行评价。 6.1 模型的优点
（1）由于回归模型能够加为准确的发现事物之间的内在联系，因此可以使用回归模型得到学费与其影响因素之间的某种内在关系。模型优越性表现在抓住了影响学费的主要因子（个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民（城镇与乡村）对高等教育学费的支付能力、国家生均拨款），反映了学费的变化规律性，采用的基础数据均源于中国统计年鉴，具有较高的准确性。
（2）由各种因素内部关系所建立的四维微分方程动力学模型是一种动态的预测模型，其动态形式是通过年生均培养费用、居民人均纯收入、国家生均拨款等因素逐年推移而实现的，较为准确的抓住了各因素之间的联系，为最终确定学费标准提供了微分函数。
（3）在数据的求解中，使用范围解对学费进行大概的描述，这样更为准确合理的分析了学费的确定标准。
（4）通过回归模型与四维微分方程动力学模型的比较，能够得出不同学费确定区间，综合分析可以得到较为准确的学费标准区间。
（5）本文中的模型简单实用，可运用于小型的学费标准确立软件的开发。 6.2 模型的不足
（1）回归模型没有考虑到各因素之间的关联度，同时为了简化运算，忽略了部分学费影响因素，这使得最终数据不能全面的反映整个社会变化下学费标准。 （2）四维微分方程动力学模型只考虑四个参数相关联下的微分方程组，同时在假设中分析的数据之间的联系存在一定误差，这导致数据最终的结果范围比回归分析略大。
（3）由于我国国情影响，本文没有考虑由于政府的强制性措施导致的学费标准的变化。
6.3 模型的改进
（1）利用多年的年鉴数据，可以对于回归模型中加入更多的因素进行分析，这能更准确地得到学费的计算公式。
（2）可以建立更高维的微分方程组，加入不同因素之间的关联程度，从而更全面得到学费标准的稳定解。
（3）全面比较两种模型的确定区间，已确定学费的重合区间，这样更加准确的得到学费标准的范围。
七、有关学费标准确立的报告
有关部门：
高等教育学费标准确立事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。根据所建
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模型的结果分析，本文将有关建议报告如下：
（1）学费标准应遵从公开公平的原则。经费来源主要是政府财政拨款、社会捐赠和学费，就我国近年来的实际情况来看，国家教育财政拨款严重短缺，预算内政府拨款占GDP的比例一直没有达到规定标准，甚至政府作为高校教育经费最主要的投入者还存在失责、缺位的现象。因此，政府应将一些与高校教学无关的费用剔除出去，加强对高校成本核算的监督，定期公开学校的政府财政拨款、社会捐赠和学费的定额，对收费的最高额度加以有限制，并以平均教育成本作为收取学费的根本依据，而不是以各学校自己上报、自己计算的成本为基准，以加强公正性和透明度。
（2）学费标准应符合全面细致原则。一元回归分析结果表明，人均国内生产总值、高等教育成本、城镇居民家庭可支配收入、农村居民家庭可支收入、生均拨款、人均国内生产总值与学费存在显著的相关关系，所以在制定收费标准时，应该将这些因素全面并细致的考虑在内，以便使收费制度更加合理与健全。
（3）学费标准应进行合理的划分。基于我国的基本国情，城乡居民的家庭收入仍存在显著差距，对同一年的城乡升学生来讲，进入同等高校和选择专业时就存在不公平的现象，这就造成了大量优秀学生因顾及学费而与自己愿望的大学和专业失之交臂，还有近年出现农村大量学生因无力支付高额学费而失学的现象。因此，政府与学校在制定学费标准时要综合考虑不同收入水平的群体，特别要兼顾城乡间的差别，以便使更多的适龄青年能有同等的机会接受高等教育。首先，有关部门在制定学费标准时要综合考虑城乡差别，把城镇居民收入和农村居民收入作为两个独立的因素来加以权衡，其次，在保证学费水平与高等教育成本的合理比例的同时，通过学费水平的上限来约束某些高校学费高涨的情况，使大多数居民能够承受当前的学费。
（4）国家应加大私立学校成立的数量。由于我国高等教育市场大部份为国家所有，这不利于学校之间的竞争。因此，本文建议鼓励发展私立高等教育，形成公私立高等教育竞争发展的局面，完善高等教育市场。发展私立高等教育，不仅可以加快高等教育大众化的进程、减轻高等教育需求压力，而且也能够在一定程度上缓解高等教育的财政危机，更重要的是它可以丰富高等教育发展模式，展开与公立高等教育的竞争，促进高等教育的发展。
（5）学费的来源应多元化。由于我国学生大部分的学费来源于家庭纯收入，因此给家庭带来很重的经济负担。为减少家庭的教育支出，本文建议加强信贷观念、健全资助制度，使学费来源多元化。为保证特困大学生能够接受并顺利完成高等教育，国家设立了奖学金、助学金、勤、减、免学费制度，但这不能成为解决问题的最理想方式，银行贷款能较好的减缓特困生及其家庭支付高校学费的压力，但实际是通过这种方式支付教育费用的人数比例和金额比例较少。因此，应加快建立、完善学生贷款管理制度，增加学生贷款的数额，扩大贷款的覆盖面。 以上意见如无不妥，可建议有关部门采用实施。 特此报告
数学建模组
二零零八年九月二十二日
参考文献：
[1] 乔资萍，高等教育学费的合理区间及其相关因素分析[M]，万方数据资源系统，2002。
[2] 刘荣，试析我国高等教育收费标准的影响因素[J]，现代商贸工业，2007，
23
19(2)：116~117。
[3] 毛建青，我国普通高等院校学费制定标准探讨[J]，湖南师范大学教育科学学报，2006，5(2):75~78。
[4] 任兴祥，关于高等教育收费标准的探讨[J]，纺织教育,1998,4:19~21。 [5] 吕孟源，高等教育成本分担及收费标准设计的准则[M],吉林教育科学高教研究，2001，(5)：20~22。
[6] 化存才，高校招生规模、政府投入和学费标准的三维动力学模型及政府调控[J]，成都理工大学学报（自然科学版），2007,34(6):1~4。
[7] 萧树铁，姜启源，张立平，大学数学（第二版）数学实验，北京：高等教育出版社，2006。
[8]王蕾，我国高等教育学费与居民家庭支付能力的现状分析[M]，北京理工大学学报（社会科学版），2005，7(4)：90~92.
[9]中国国家统计局，中国国家统计年鉴-1997~2007，http://www.stats.gov.cn/，2008-9-20。
[10] 中国教育新闻网，2007年高校收费标准与奖励资助，http://www.jyb.com.cn/，2008-9-21。
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