在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF． 【答案】证明：∵AF=DC，∴AC=DF。
又∵AB=DE，∠A=∠D，
∴△ACB≌△DEF（SAS）。∴∠ACB=∠DFE，。 ∴BC∥EF。
【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的判定。
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行的判定，即可证明BC∥EF。
3.（浙江温州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．
求证：△ADM≌△BCM．
【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB∥CD，∴AD=BC，∠A=∠B。
∵点M是AB的中点，∴MA=MB。∴△ADM≌△BCM（SAS）。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。
【分析】由等腰梯形得到AD=BC，∠A=∠B，根据SAS即可判断△ADM≌△BCM。 4.（浙江台州8分）如图，分别延长?ABCD的边BA、DC到点E、H，使 得AE＝AB，CH＝CD，连接EH，分别交AD、BC于点F、G．
求证：△AEF≌△CHG．
【答案】证：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ，
∴∠E＝∠H，∠EAF＝∠D 。
∵AD∥BC，∴∠HCG＝∠D。∴∠EAF＝∠HCG 。 ∵AE＝AB，CH＝CD。∴AE＝CH。 ∴△AEF≌△CHG（ASA）。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质可得出AE=CH，再根据平行线的性质及等角代换的原理可得出∠E=∠H，∠EAF=∠D，从而利用ASA可作出证明。
5.（浙江义乌6分）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，
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DF⊥AC. （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， AB∥CD ，
∴∠BAE=∠FCD。
又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB=∠CFD=90°。 ∴△ABE≌△CDF （AAS）。
（2）①△ABC≌△CDA ， ②△BCE≌△DAF。
【考点】平行四边形的性质，垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定。
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS即可证得。
（2）根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF。
6.（广西柳州6分））如图，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：△AFB≌△AEC
【答案】证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，
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∴AE＝AB，AF＝AC。
22∵AB＝AC，∴AE＝AF。
又∵∠A＝∠A，∴△AFB≌△AEC（SAS）。
【考点】全等三角形的判定。
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【分析】据中点的定义可知AE＝AB，AF＝AC，从而由已知AB＝AC 得AE＝AF，因此根据SAS即可证
22明△AFB≌△AEC。
7.（广西钦州6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点， BE∥DF．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD， BC∥AD 。
∴∠ACB＝DAC。
又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠AFD 。∴△CBE≌△ADF（AAS）。∴BE＝DF。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】要证BE＝DF，只要证△CBE≌△ADF即可。它可由平行四边形对边平行且相等的性质和平行线内错角相等的性质证得。
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8.（湖南常德7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形。 （1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB、∠CBA的平分线， 求证：DF=EC。
【答案】解：（1）证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。 ∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA。∴△MEF∽△MBA。
（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，
∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB。 ∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF。 同理得出CE=CB，∴DF=EC。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定。
【分析】（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据相似三角形的判定得出答案。
（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC。
9.（湖南衡阳6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF． 【答案】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，
又∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF， ∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD。 ∴△BDE≌△CFD（ASA）。∴CF=BE。
【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。
【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以由ASA证明△BDE≌△CDF，从而得出结论。 10.(湖南湘西6分)如图，已知AC平分?BAD，AB=AD。求证：△ABC≌△ADC 【答案】证明：∵AC平分?BAD，∴?BAC=?DAC,
又∵AB=AC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）。 【考点】全等三角形的判定。
【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，便可利用SAS证得。
11.（江苏苏州6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A
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＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】解： (1)证明：∵ AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC。
??A??BEC=900? ∵ 在△ABD和△ECB中 ?BD=CB，∴△ABD≌△ECB（ASA）。
??ADB＝?EBC? （2）∵BC＝BD，∠DBC＝50°，∴∠BCD＝65°。 又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝40°。
∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝65°－40°＝25°。
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等量代换。 【分析】(1)要证明△ABD≌△ECB，已知有－对直角和－组对边相等，只要再证－组对角相等即可。 而由于AD∥BC，根据两直线平行内错角相等的性质，有∠ADB＝∠EBC，从而得证。
(2)由等腰三角形等边对等角的性质和直角三角形两锐角互余的性质经过等量代换和变形可求 得。
12.（江苏常州、镇江5分）已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC 求证：AB=AC
【答案】证：∵AD平分∠EDC，∴∠EDA＝∠CDA。 在△AED和△AED中，
∵DE＝CD，∠EDA＝∠CDA，AD＝AD，∴△AED≌△AED（SAS）。，∴∠C＝∠E。 又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C。∴AB＝AC
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
【分析】要证AB＝AC，由等腰三角形等角对等腰的判定即要∠B＝∠C，由于已知∠E＝∠B，而∠C和∠E是全等三角形△AED和△AED的对应角，从而得证。
13.（江苏淮安8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF.
【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴∠B＝∠D，AB＝DC。
又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】利用平行四边形的性质和∠1＝∠2的条件可以用ASA证明两三角形全等。
14.（江苏连云港6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：不重叠的两部分全等。理由如下：
∵三角形纸板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D。 ∴AB－BF＝BD－CD，即AF＝CD。∴△AOF≌△DOC（AAS）
【考点】全等三角形的判定。
【分析】根据全等三角形AAS的判定定理，得出结果。
15.（山东德州8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由． 【答案】解：（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴△ACD≌△ABE（AAS）。∴AD=AE。
（2）在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，
∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。 即OA是∠BAC的平分线。 又∵AB=AC，∴OA⊥BC。
【考点】全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据全等三角形AAS的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。
（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，
即OA⊥BC。
16.（山东菏泽6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC．
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