（2）直接由SAS可判定△ABC≌△ABD。
28.（福建宁德8分）
已知：如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． 求证：AC＝DF.
【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC。
∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。 又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴AC＝DF。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由同位角相等的平行性质可得∠B＝∠DEC，由等量代换可得BC＝EF，从而由SAS可证△ABC≌△DEF，从而得证。
29.（重庆江津10分）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
【答案】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF，AB=BC ， ∴Rt△ABE≌△Rt△CBF（HL）。
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°。 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°。 ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。
【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF。
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由
Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案。 30.（海南10分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ． （1）求证：△BDQ≌△ADP；
B
E
C
F
A D 16
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=
1∠ABC，AD∥BC。 2∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°。 ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°。 ∵AP=BQ，∴△BDQ≌△ADP（SAS）。
（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP，∴BQ=AP=2。 ∵AD∥BC，∴∠QBE=60°。 ∴QE=QB?sin60°=2×31?3，BE=QB?cos60°=2×=1。 22∵AB=AD=3，∴PB=AB﹣AP=3－2=1。∴PE=PB+BE=2。 ∴在Rt△PQE中，PQ=PE+QE?2?∴cos∠BPQ=
222?3?2?7。
PE22??7。 PQ77【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数。 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP。
（2）首先构造直角三角形，过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值。
1∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，2 17