于是有sinnA?cosnA?sin2A?cos2A?1
ab即 ()n?()n?1,
cc从而就有 an?bn?cn.
思维阻碍 由于这是一个关于自然数n的命题，一些学生都会想到用数学归纳法
来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。 （3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
1 转化成容易解决的明显题目 ○
111???1,求证a、b、c中至少有一个等于1。 abc思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1，也就是说a?1、b?1、c?1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
111证明 ????1,?bc?ac?ab?abc.
abc 例11 已知a?b?c?于是 (a?1)(b?1)(c?1)?abc?(ab?ac?bc?1)?(a?b?c)?0.
? a?1、b?1、c?1中至少有一个为零，即a、b、c中至少有一个为1。 思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
pp例12 直线L的方程为x??，其中p?0；椭圆E的中心为O?(2?,0)，焦点
22p在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为A(,0)，问p在什么范围内取
2值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y2?2px （1）
是，又从已知条件可得椭圆E的方程为
[x?(2?4p2)]2?y2?1 （2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将（2）代入（1）得：
p2?2p?0. （3） x?(7p?4)x? 42确定p的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
?p22?2p)?0?(7p?4)?4(4?2?p ??2p?04????7p?4?0在p?0的条件下，得0?p?13.
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。
2 逆向思维的训练 ○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方
式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数f(x)?2x2?mx?n，求证f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即f(1)、f(2)、f(3)都小于1。
?f(1)?1①??1?2?m?n?1??3?m?n??1???则?f(2)?1???1?8?2m?n?1???9?2m?n??7 ② ???1?18?3m?n?1??19?3m?n??17③f(3)?1???①＋③得 ?11?2m?n??9，
与②矛盾，所以假设不成立，即f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于1。 ○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真
观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数z的模为2，求z?i的最大值。 解法一（代数法）设z?x?yi(x、y?R)，
则x2?y2＝4.z?i?x2?(y?1)2?5?2y.
?y?2,?当y??2时，z?imax?3. 解法二（三角法）设z?2(cos??isin?), 则 z?i?4cos2?＋（2sin??1)2?5?4sin?.
?当sin???1时，z?imax?3. 解法三（几何法）
?z?2,?点z是圆x2?y2?4上的点，
z?i表示z与i所对应的点之间的距离。y O ．i ． -2i Z x 如图1－2－3 所示，可知当z??2i时，z?imax?3. 解法四（运用模的性质）
?z?i?z??i?2?1?3
而当z??2i时，z?i?3.?z?imax?3. 解法五（运用模的性质）
?z?i?(z?i)(z?i)?zz?(z?z)i?1
2图1－2－3
. ?5?2I(z),(I(z)表z的虚部）又?I(z)?2,?z?imax?9,?z?imax?3.
第二讲 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
2 例1 已知f(x)?ax?错误解法 由条件得
x，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。 b??3?a?b?0? ? b3?2a??6?2?①
②②
③
×2－①得 6?a?15
①
④
×2－②得 ?8b2??? 33310b431043?3a??,即?f(3)?. 33333错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
xf(x)?ax?，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大
b（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
③+④得
?f(1)?a?b??b f(2)?2a??2?12解得：a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],
33b165?f(3)?3a??f(2)?f(1).
3991637把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?.
33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在?ABC中，?C?90?，求证c2?a2?b2. 错误证法 在Rt?ABC中，sinA?ab,cosA?,而sin2A?cos2A?1， ccab?()2?()2?1，即c2?a2?b2. cc错误分析 在现行的中学体系中，sin2A?cos2A?1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列?an?的前n项和Sn?2n?1，求an.
错误解法 an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?2n?1?2n?1.
错误分析 显然，当n?1时，a1?S1?3?21?1?1，错误原因，没有注意公式
an?Sn?Sn?1成立的条件是n?2(n?N).因此在运用an?Sn?Sn?1时，必须检验n?1?S1(n?1)时的情形。即：an??
S(n?2,n?N)?n例4 实数a为何值时，圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线y2?点。
错误解法 将圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线 y2?1x有两个公共21x联立，消去y， 21得 x2?(2a?)x?a2?1?0(x?0). ①
2???0?1?因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得?2a??0
2?2??a?1?0. 解之，得错误分显然，当点。
y 17y . 8析 （如图2－2－1；a?0时，圆与抛物线有两个a?x O 2－2－2）公共x O 图2－2－1 图2－2－2