设z?x2?y2，则z?x2?(1?x)2?2x2?2x?1. 二次项系数为2?0,故z有最小值。 ?
2?214?2?1－（－2）1?时，z最小值＝＝. 当x???
2?224?221? x2?y2的最小值为.
2分析2 已知的一次式x?y?1两边平方后与所求的二次式x2?y2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 ?x?y?1,?(x?y)2?1,即x2?y2?1?2xy.
? 2xy?x2?y2,?x2?y2?1?(x2?y2).
111,当且仅当x?y?时取等号。? x2?y2的最小值为. 222分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
即 x2?y2?解法3 设z?x2?y2.
1111?x?y?1,?z?x2?y2?x?y?1?(x?)2?(y?)2??.
2222111? 当x?y?时，z最小＝.即x2?y2的最小值为.
222分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，x?y?1表示直线l,x2?y2 表示原点到直线l上的点P(x,y)的距离的平方。 显然其中以原点到直线l的距离最短。 此时，d?2y l 1 P(x,y) O 1 x |0?0?1|22?22,即(x2?y2)最小＝.
221所以x?y的最小值为.
2图4－2－2 注 如果设x2?y2?z,则问题还可转化为直线x?y?1与圆x2?y2?z有交点时，半径z的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。
z?R.求证：|z|?1. 例4 设z?R,1?z2z分析1 由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，
1?z2在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。
z?a(a?R),当a?0时，可得z?0与z?R条件不合。 证法1 设
1?z2?a?0.于是有 az2?z?a?0.
?z?R,?该方程有一对共轭虚根，设为z1,z2，于是z1?z2,?|z1|2?|z2|2.
又由韦达定理知 z1?z2?a?1,?z1?z1?z2?z2?|z1|2?|z2|2?1.?|z|?1. a分析2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，
注意到zz?|z|2这一重要性质，即可求出|z|的值。
z?a(a?R),当a?0时，可得z?0与z?R条件不合，?a?0. 21?zzzz?a?a,??. 则有 a?，
1?z21?z21?z2证法2 设
即 z(1?z2)?z(1?z2)?z?z(z?z)?z?z(z?z).
但 z?z?|z|2,?z?z?|z|2?z?z?|z|2,?(z?z)(1?|z|2)?0. 而 z?z?R,?|z|2?1.即|z|?1.
分析3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运
算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。
11z1?z2z??z??z?R. ?R,??R,证法3 即
zz?zz1?z2从而必有z?z?1.?|z|?1.
简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证
明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。
例5 由圆x2?y2?9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。
解法1 如图4－2－3，设弦AB的中点M的坐标为M(x,y)，连接OP、OM， 则OM?AB，在?OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有
x2?y2?(x?5)2?(y?12)2?169.
整理，得 x2?y2?5x?12y?0.其中?3?x?3. 分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的 曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。
解法2 因为M是AB的中点，所以OM?AB，
5所以点M的轨迹是以|OP|为直径的圆，圆心为(,6),
2|OP|13?,?该圆的方程为： 半径为22513(x?)2?(y?6)2?()2
22化简，得 x?y?5x?12y?0.其中?3?x?3.
分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作
直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。
解法3 设过P点的割线的斜率为k,则过P点的割线方程为：y?12?k(x?5).
1? OM?AB且过原点，?OM的方程为 y??x.这两条直线的交点就是M点
k22y P A O B M x 图4
的轨迹。两方程相乘消去k,化简，得：x2?y2?5x?12y?0.其中?3?x?3. 分析4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。
解法4 设过P点的割线方程为：y?12?k(x?5) 它与圆x2?y2?9的两个交点为A、B，AB的中点为M.
?y?k(x?5)?12解方程组 ?2 2?x?y?9,利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为：
x2?y2?5x?12y?0.其中?3?x?3.
分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M的坐标(x,y)与
A、B构成4点共线的两交点A(x1,y1)、B(x2,y2)通过中点公式联系起来，又点P、M、和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。
解法5 设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?2x,y1?y2?2y.
22?x12?y12?9,x2?y2?9.
两式相减，整理，得 (x2?x1)(x2?x1)?(y2?y1)(y1?y2)?0. 所以
y2?y1x?x2x??1??,
x2?x1y1?y2y12?y12?yx,???, 5?x5?xy即为AB的斜率，而AB对斜率又可表示为
化简并整理，得 x2?y2?5x?12y?0.其中?3?x?3.
简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线
是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于A、B两点，求
AB中点M的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用kPM?kAB可
较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。
二、《解密数学思维的内核》
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）
之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。