确只是碰巧而已。由当y??1时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到2的取值范围。事实上，由于点(x,y)在椭圆上，所以有?b?y?b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论。即：
1若b?，则当y??b时，d2（从而d）有最大值。
23311于是(7)2?(b?)2,从而解得b?7??,与b?矛盾。
222211所以必有b?，此时当y??时，d2（从而d）有最大值，
22所以4b2?3?(7)2，解得b2?1,a2?4.
x2?y2?1. 于是所求椭圆的方程为4例10 求y?错解1 y?28?的最小值 sin2xcos2x28288 ??2???sin2xcos2xsin2xcos2x|sinxcosx|16?16,.?ymin?16.
|sin2x| ?282?sinx)?(?cos2x)?1?22?28?1??1?62. 22sinxcosx28且|sin2x|?1. 错误分析 在解法1中，y?16的充要条件是2?2sinxcosx1即|tgx|?且|sinx|?1.这是自相矛盾的。?ymin?16.
2错解2 y?(在解法2中，y??1?62的充要条件是
282222?sinx且?cosx，即sinx?2，cosx?22,这是不可能的。 22sinxcosx正确解法1 y?2csc2x?8sec2x
?2(1?ctg2x)?8(1?tg2x)
?10?2(ctg2x?4tg2x)?10?2?2ctgx?4tgx?18.22
其中，当ctg2x?4tg2x，即ctg2x?2时，y?18.?ymin?18. 正 确 解 法2 取正常数k，易得
28y?(2?ksin2x)?(?kcos2x)?k 2sinxcosx?2?2k?2?8k?k?6?2k?k.
其中“?”取“＝”的充要条件是 281222?ksinx且?kcosx，即tgx?且k?18. 222sinxcosx1因此，当tg2x?时，y?6?2k?k?18,?ymin?18.
2
第四讲 数学思维的开拓性
一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在： (1) 一题的多种解法
例如 已知复数z满足|z|?1，求|z?i|的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义；
④运用复数模的性质（三角不等式）||z1|?|z2||?|z1?z2|?|z1|?|z2|； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系|z|2?z?z；
⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z|?1与|z?i|?r有公共点时，r的最大值。 (2) 一题的多种解释
12ax可以有以下几种解释： 21①可以看成自由落体公式s?gt2.
21②可以看成动能公式E?mv2.
21③可以看成热量公式Q?RI2.
2又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”
x可以变换为：logaa,,sin2x?cos2x,(logab)?(logba),sec2x?tg2x，等等。
x1． 思维训练实例
例如，函数式y?例1 已知a2?b2?1,x2?y2?1.求证：ax?by?1.
分析1 用比较法。本题只要证1?(ax?by)?0.为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
1证法1 ?1?(ax?by)?(1?1)?(ax?by)
21?(a2?b2?x2?y2)?(ax?by) 21?[(a2?2ax?x2)?(b2?2by?y2)]2
1?[(a?x)2?(b?y)2]?0,2所以 ax?by?1.
分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。 ．．．．
证法2 要证 ax?by?1. 只需证 1?(ax?by)?0,
即 2?2(ax?by)?0, 因为 a?b?1,x?y?1.
所以只需证 (a?b?x?y)?2(ax?by)?0,
22222222l y M2 d O x 图4－2－1
即 (a?x)2?(b?y)2?0.
因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）
a2?x2b2?y2a2?x2b2?y2,by?.?ax?by???1. 证法3 ?ax?2222即 ax?by?1.
分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数
同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法4 ?a2?b2?1,x2?y2?1,?可设
?a?sin?,b?cos?.x?sin?,y?cos? ?ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1,
分析5 数形结合法：由于条件x2?y2?1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax?by?ax?bya?b22.联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线l:ax?by?0经过 圆x2?y2?1的圆心O，所以圆上任意一点M(x,y) 到直线ax?by?0的距离都小于或等于圆半径1， 即 d?|ax?by|a?b22?|ax?by|?1?ax?by?1.
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果(z?x)2?4(x?y)(y?z)?0,求证：x、y、z成等差数列。
分析1 要证x、y、z，必须有x?y?y?z成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1 ?(z?x)2?4(x?y)(y?z)?0,
?z2?2xz?x2?4xy?4xz?4y2?4yz?0,(x?z)2?2?2y(x?z)?(2y)2?0,?(x?z?2y)?0,x?z?2y?0,2
故 x?y?y?z，即 x、y、z成等差数列。
分析2 由于已知条件具有x?y,y?z,z?x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。
证法2 设x?y?a,y?z?b,则x?z?a?b. 于是，已知条件可化为：
(a?b)2?4ab?0?(a?b)2?0?a?b?x?y?y?z. 所以x、y、z成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式??b2?4ac的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当x?y?0时，由已知条件知z?x?0,?x?y?z,即x、y、z成等差数列。 当x?y?0时，关于t的一元二次方程：(x?y)t2?(z?x)t?(y?z)?0,
其判别式??(z?x)2?4(x?y)(y?z)?0,故方程有等根，显然t＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1， 由韦达定理知 t1?t2?y?z?1?x?y?y?z.即 x、y、z成等差数列。 x?y简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。
例3 已知x?y?1，求x2?y2的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母x、y，但已知条件恰有x、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 ?x?y?1,?y?1?x.