(x?10)2?y2?2.
|x?4|(x?2)2y2??1. 整理得
1648正解2 依题意，设双曲线的中心为(m,0)
?a2??m?4?a?4c???则 ?c?m?10 解得 ?c?8
?m?2.?c???2.??a所以 b2?c2?a2?64?16?48,
(x?2)2y2??1. 故所求双曲线方程为
1648②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果A成立，那么B成立，即A?B，则称A是B的充分条件。 如果B成立，那么A成立，即B?A，则称A是B的必要条件。 如果A?B，则称A是B的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式x?1?x?3. 错误解法 要使原不等式成立，只需
?x?1?0?, 解得3?x?5. ?x?3?0?x?1?(x?3)2??A?0?A?0?错误分析 不等式A?B成立的充分必要条件是：?B?0或 ?
?B?0?A?B2??x?1?0?x?1?0?原不等式的解法只考虑了一种情况?x?3?0，而忽视了另一种情况?，
?x?3?0?x?1?(x?3)2?所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。 正确解法 要使原不等式成立，则
?x?1?0?x?1?0?x?3?0或 ???x?1?(x?3)2?x?3?0??3?x?5，或1?x?3.
y ?原不等式的解集为 {x|1?x?5}
例6（轨迹问题）求与y轴相切于右侧，并与 ⊙C:x2?y2?6x?0也相切的圆的圆心 的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示， 已知⊙C的方程为(x?3)2?y2?9.
M 2P N 2 C(3,0) O x 图3－2－1
设点P(x,y)(x?0)为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点， 与⊙C相切于N点。根据已知条件得
|CP|?|PM|?3，即(x?3)2?y2?x?3.
化简得 y2?12x(x?0).
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y?0(x?0且x?3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2?12x(x?0)和
y?0(x?0且x?3)。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列?an?的全n项和为Sn.若S3?S6?2S9，求数列的公比q. 错误解法 ?S3?S6?2S9,
a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9) ???2?1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0.
由q?0得方程2q6?q3?1?0.?(2q3?1)(q3?1)?0,?4q??或q?123
a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)错误分析 在错解中，由 ??2?1?q1?q1?q应有a1?0和q?1.在等比数列中，a1?0是显然的，整理得q3(2q6?q3?1）＝0.时，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q?1的情况，再在q?1的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若q?1，则有S3?3a1,S6?6a1,S9?9a1. 但a1?0，即得S3?S6?2S9,与题设矛盾，故q?1. 又依题意 S3?S6?2S9,
a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)可得 ??2?1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0.即(2q3?1)(q3?1)?0,
因为q?1，所以q3?1?0,所以2q3?1?0.
3所以 q??4. 2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共y轴的两个
yO x?F?直角坐标平
面?和?所成的二面角??y轴－?等于60?.已知?内的曲线C?的方程是
y2?2px?(p?0)，求曲线C?在?内的射影的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线C?是抛物线，
p在?内的焦点坐标是F?(,0),p?0.
2因为二面角??y轴－?等于60?， 且x?轴?y轴，x轴?y轴，所以?xox??60?.
设焦点F?在?内的射影是F(x,y)，那么，F位于x轴上， 从而y?0,?F?OF?60?,?F?FO?90?,
p1pp??.所以点F(,0)是所求射影的焦点。依题意，射影2244是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以OF?OF??cos60??所以曲线C?在?内的射影的曲线方程是y2?px.
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线）的焦点，
其次，未经证明默认C?在?内的射影（曲线）是一条抛物线。
正确解法 在?内，设点M(x?,y?)是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M作MN??，垂足为N， 过N作NH?y轴，垂足为H.连接MH， 则MH?y轴。所以?MHN是二面角
yF?M N ?x?O H ??y轴－?的平面角，依题意，?MHN?60?.
在Rt?MNH中,HN?HM?cos60??又知HM//x?轴（或M与O重合），
HN//x轴（或H与O重合），设N(x,y)，
1x?. 2图3
1?x?x??则 ?2??y?y??x??2x ????y?y.因为点M(x?,y?)在曲线y2?2px?(p?0)上，所以y2?2p(2x). 即所求射影的方程为 y2?4px(p?0).
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e?这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。
x2y2错误解法 依题意可设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)
abc2a2?b2b23?1?2?， 则 e?2?24aaa233，已知点P(0,)到
22b21所以 2?，即 a?2b.
4a设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，
3则 d2?x2?(y?)2
2y29?a(1?2)?y2?3y?4 b
1??3(y?)2?4b2?3.22所以当y??1时，d2有最大值，从而d也有最大值。 2所以 4b2?3?(7)2，由此解得：b2?1,a2?4.
x2?y2?1. 于是所求椭圆的方程为4错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正