要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
???0当方程①有一正根、一负根时，得?2解之，得?1?a?1.
?a?1?0.因此，当a?个公共点。
思考题：实数a为何值时，圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线y2?1x， 2171或?1?a?1时，圆x2?y2?2ax?a2?1?0与抛物线y2?x有两82（1） 有一个公共点；
（2） 有三个公共点； （3） 有四个公共点； （4） 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
例6 解方程x2?2x?3?cosx.
考察方程两端相应的函数y?(x?1)2?2,y?cosx，它们的图象无交点。 所以此方程无解。
例7 设?、?是方程x2?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)2?(??1)2的最小值是（ ）
49(A)?;(B)8;(C)18;(D)不存在
4思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2 349?4(k?)2?.4449，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏4反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
有的学生一看到?原方程有两个实根?、?， ?
???4k2?4(k?6)?0,?k??2或k?3.
当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8；当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
第三讲 数学思维的严密性
二、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面： 概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。
1例如，“函数y?()?x是一个减函数”就是一个错误判断。
3推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
1例如，解不等式x?.
x1?x2?1, 解 ?x?,x1 ?x?1, 或 x??1.这个推理是错误的。在由x?推导x2?1时，没有讨论x的
x正、负，理由不充分，所以出错。 二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案）
例1、 不等式 log(x2?2)(3x2?2x?4)?log(x2?2)(x2?3x?2).
错误解法 ?x2?2?1,
?3x2?2x?4?x2?3x?2,
?2x2?x?6?0,?x?3或x??2. 23），说2明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
错误分析 当x?2时，真数x2?3x?2?0且x?2在所求的范围内（因 2?正确解法 ?x2?2?1
?1?131?13x?或x???3x?2x?4?033??2? ??x?2或x?1 ??x?3x?2?0??3x2?2x?4?x2?3x?23??x?或x??2?2?2?x?2或x??2.
例2、 求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2?2x仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y?kx?1，则它与抛物线的交点为
?y?kx?1，消去y得：(kx?1)2?2x?0. ?2?y?2x整理得 k2x2?(2k?2)x?1?0.?直线与抛物线仅有一个交点，
???0,解得k?11.?所求直线为y?x?1. 22错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y?kx?1时，没有考虑k?0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k?0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以x?0,即
y轴，它正好与抛物线y2?2x相切。
当所求直线斜率为零时，直线为y?1,平行x轴，它正好与抛物线y2?2x只有一个交点。
设所求的过点(0,1)的直线为y?kx?1(k?0)则
?y?kx?1122k?.?所求直线为??0,， 令解得kx?(2k?2)x?1?0.??22?y?2x1x?1. 2综上，满足条件的直线为：
1y?1,x?0,y?x?1.
2(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。 ①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
y?例3、 实数m，使方程x2?(m?4i)x?1?2mi?0至少有一个实根。
错误解法 ?方程至少有一个实根，
???(m?4i)2?4(1?2mi)?m2?20?0.
?m?25,或m??25.
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设a是方程的实数根，则
a2?(m?4i)a?1?2mi?0,?a?ma?1?(4a?2m)i?0.由于a、m都是实数，
??a2?ma?1?0 ?4a?2m?0?2
解得 m??2.
例4 已知双曲线的右准线为x?4，右焦点F(10,0),离心率e?2,求双曲线方程。
a2?4,c?10,?a2?40,?b2?c2?a2?60. 错解1 ?x?c故所求的双曲线方程为
x2y2??1. 4060错解2 由焦点F(10,0)知c?10,
?e?c?2,?a?5,b2?c2?a2?75. a故所求的双曲线方程为
x2y2??1. 2575错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。
正解1 设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x?4，右焦点
F(10,0)，离心率e?2，由双曲线的定义知