第二节课0715复习函数各种性质(3)

七 函数的奇偶性问题 （一）函数奇偶性的定义： 如果对于函数y?f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么就称函数y?f(x)为奇函数； 对于函数y?f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么就称函数y?f(x)为偶函数； （二）函数奇偶性的判断方法： 1、图像法： 如果函数f(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)是奇函数； 如果函数f(x)的图像关于y轴对称，则函数f(x)是偶函数； 2、定义法： (1)先判断函数f(x) 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数f(x) 是非奇非偶函数；否则做第（2）歩； (2)判断f(?x)与f(x)的关系，如果f(?x)?f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果f(?x)??f(x)，则函数f(x)为奇函数； （三）常见的结论： 1， 函数f(x)为偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?函数f(x)的图像关于y轴对称； 2， 函数f(x)为奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?函数f(x)的图像关于原点对称； 3， 函数f(x)为偶函数?f(x)?f(|x|)； 4， 若二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，则b?0； 5， 若奇函数的定义域为全体实数R ，则f(0)?0； 6， 在公共的定义域上，若f(x)，g(x)均为奇（或偶）函数，则f(x)?g(x)仍为奇（或偶）函数，简记为：奇?奇=奇、 偶?偶=偶； 7， 函数y?f(x)?g(x)的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若f(x)，g(x)奇偶性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则y?f(x)?g(x)为偶函数；（2）若f(x)，g(x)奇偶性相异，即一奇一偶函数，则y?f(x)?g(x)为奇函数。 简记为：同偶异奇 8， 奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反； 例22若f(x)?(x?a)(x?4)为偶函数，则实数a?__________________ 例23、设f(x)?ax7?bx?5，已知f(?7)??17，则f(7)的值是___________ 例24、已知函数f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是（ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 八 函数的周期性问题 1、若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. f(x)（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 2、若a、b(a?b)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 3、若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 例25：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 例26：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 例27：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)=－2x+1，则当x??4,6?时求f(x)的解析式 例28：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=?奇偶性. 例29：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)是减函数，求证当x??4,6?时f(x)为增函数 例30：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 例31：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 1，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的f(x) 九 函数的图像变换 （一）函数图像变换 1，平移变换 （1）左右平移：y?f(x)???????????y?f(x?k)（左加右减） （2）上下平移：y?2，对称变换 （1）y?（2）y?（3）y?关于y轴对称 f(x)???????y?f(?x）关于x轴对称 f(x)???????y??f(x）关于原点对称 f(x)???????y??f(?x）k?0向左平移|k|个单位k?0向右平移|k|个单位h?0向上平移|h|个单位?y?f(x)?h f(x)??????????h?0向上平移|h|个单位3，伸缩变换 （1）（2）横坐标不变，纵坐标变为原来A倍?y?Af(xy?f(x)??????????????） y?f(x)?????????????????y?f(ax） 保留y轴右侧图象，将右侧图象作关于y轴对称?y?f(|x|）y?f(x)??????????????????? 保留x轴上方图象，将x轴下方图象作关于x轴对称y?f(x)?????????????????????y?|f(x)| 纵坐标不变，横坐标变为原来1a4，翻折变换 （1）（2） 例32下列区间中，函数f(x)?lg(2?x)，在其上为增函数的是（ ） A、(??,1] B、 ??1,? C、 [0,) D、 [1,2) 2?3? 例33为了得到函数y?lg?4?3x?3的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有的点 （ ） 10 A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度