2013年中考压轴题复习(四)----相似篇(1)
1．（2011上海,25,14分）
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，
sin?EMP?12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1 图2 备用图
[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，?CP=24，又sin?EMP=
12?CM=26。 13 (2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ ?EAP=?BAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC， ∴
EPBCEP303，即，∴ EP=x， ??x404APAC3x1212EP1245 又sin?EMP=?tg?EMP==?=，∴ MP=x=PN，
MP135MP516521x=50?x (0 3EP1216x124 BN=AB?AP?PN=50?x? 又AM=AP?MP=x? 511x=x， 16161113xxAMME1616 由題設△AME ~ △ENB，∴ ，?=，解得x=22=AP。 ?1321ENNBx50?x1616 ? 當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ ?AEM=?EBN。 由外角定理，?AEC=?EAB??EBN=?EAB??AEM=?EMP， 3xACEP50404 ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，?，即，?CE=…?。 ??5CECEPM3x16 設AP=z，∴ PB=50?z， 由Rt△BEP ~ Rt△BAC，? ∴CE=BC?BE=30? BEBABE505，即=，?BE=(50?z)， ?PBBC350?z305(50?z)…?。 3505 由?，?，解=30?(50?z)，得z=42=AP。 332．（2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE= 2 1，EF⊥OD，垂足为F． 2（1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值． 【答案】解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0）， 2 ?a=?2?16a+24+c=0∴?，解得?。 c=8a?6+c=0??∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8。 （2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。 ∴∠DEF=∠ODA。 2 EFED。 =DODAED1EF1∵=tan?DAE=，∴=。 DA2DO2EF11∵OD=t，∴=，∴EF=t。 t22∴△EDF∽△DAO。∴ 同理 DFED，∴DF=2，∴OF=t﹣2。 =OADA2 （3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8，∴C（0，8），OC=8。 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。 在△CAG与△OCA中， ∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E点作EM⊥x轴于点M， 则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t， 2?1?由勾股定理得： AE?AM?EM??4+t?+?t?2?。 ?2?222212在Rt△AEG中，由勾股定理得： 52?1?EG=AE2?AD2??4+t?+?t?2??82?t2?44。 4?2?在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+21252t?44 422?522??1?222 4+t?44由勾股定理得：EF+CF=CE，即?t?+?10?t?=?。 ???24????解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。 ∴t=6。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。 （3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度； 然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。 2013年中考压轴题复习(四)----相似篇 (2) 1．（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y??相交于点B、 C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m 【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴2??（2）由（1）得y??1?2?2?(2?m)，解得m=4。 m1?x?2?(x?4)。 41?x?2?(x?4)，解得x1=－2，x=4。 4 令x=0，得y?2。∴E（0，2），OE=2。 令y=0，得0??∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。 121（3）由（2）可得y???x?2?(x?4)的对称轴为x=1。 4 ∴△BCE的面积=?6?2?6。 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之 间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。 设直线CE的解析式为y?kx+b，则 1??4k+b=01?k=? ?，解得?2。∴直线CE的解析式为y??x+2。 2?b=2??b=2 33 当x=1时，y?2。∴H（1，2）。 （4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△BCF时，如图所示。 则 BEBCBC?BF，∴BC2=BE?BF。 由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。 ∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又点F在抛物线上，∴－x－2=?1m?x?2?(x?m)， ∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。 此 时 BF?(2m?2)2?(?2m?2)2?22（m?1），BE?22，BC?m?2， 又BC2=BE?BF，∴（m+2）2= 22 ?22（m?1），解得m=2±22。