2013年中考压轴题复习(四)----相似篇(5)
1.(2012福建福州,22,14分)如图①，已知抛物线y?ax2?bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；
(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO,则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）.
第22题图① O D 第22题图② O A D x y B N N y B A x 问题苑：一次函数，二次函数及其图像，图形的旋转与翻折，相似三角形的判定与性质，化归，分类等重要数学思想。
思考归纳：解：①可采用待定系数法。则有
??a?1 9a?3b?0;16a?4b?4]得?b??3? 解析式为：y?x?3x；
②可解的直线OB的解析式为y?x；
设平移后的表达式为y?x?m；∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴ 即有x?3x?x?m；
∴
22x2?4x?m?0；
??b2?4ac?(?4)2?4?1?m?0；m?4
y H E N K P1 G D A B 解析式 为：y?x?4；则可得点D的坐标是(2，－－2)。 ③方法一：
情况一： 可过点B分别作x轴和y轴的垂线BF和BE；
F x ∵易证四边形BFOE为正方形□，且∠NBO=∠ O I
第22题图①
ABO ，OB为正方形的对角线平分一组对角；∴∠EBO=∠FBO=45°，∠EBH=∠FBA（等式的性质） ∴△EBH≌△FBA（“ASA”），EH=AF，点H的坐标为（0,3） ∵点H的坐标为（0,3），点B的坐标为（4,4），可用待定系数法解：
y? 直线NB的表达式为：
合题意，舍去）
∴点N的坐标为（(?1132x?3，即有 x?3?x?3x 得x1??;x2?4（ 不444
345,); 416OD1?； OB2∵直线OD的解析式为y??x，直线OB的解析式为y?x，即有∠AOD=∠AOB；
OD1?且∠ODP1=∠NBO=∠ABO；∴也有△ODG∽△OBA, 相似比为；OB2OGODDG13???;得OG得值为；P1D的解析式为y??4x?6； OAOBBA22过点N与点P1作y轴和x轴的垂线NK，P1I；则有
3△ NKO∽△P1IO；P1I的长为;；带入y??4x?6；
8y 45453E ;点P1的坐标为（;;） 可知OI为H 32328M 情况二：可过点P2和点N作y轴的垂线P2L与NM； N ∵OD的长为22；OB的长为42；∴相似比为
∵△P2LO∽△NMO（注：若有△POD∽△NOB，则∠POD=∠NOB）
B OD1345?；P2L=;LO=; OB2832345∴点P1的坐标为（?,?）；
832453345;;）故综上所述点P可为（；（?,?）。 328832∴相似比为
F O P2 L D A x
第22题图①
方法二：①∵直线OD的解析式为y??x，直线OB的解析式为y?x；∴OB⊥OD；便可将△OBN旋转90°，使得OB位于直线OD上；
y 453;;）； B 328N 345将△OPD沿着直线OD翻折，即为另一P点（?,?）。
832N1 ②可过x轴作△OBN的轴对称图形，如图所示： DP∥ N1B1
P 345同理可知点P为（?,?）。 A 832x O 453P ;;）将△OPD沿着直线OD翻折，（。 328D 如图所示： DP∥ N1B1 ， 同理可知点P为（
B1 第22题图①
深度探索，拓展延伸：本题具有一定梯度，第二问 应构建一元二次方程并与其的根判别式联系起来；
第三问学生应细心审题，切忌心慌。善于捉住题中的隐含信息，在理清重要的条件关系下，找准切入点。
??2.（2011江苏镇江,24,7分）如图，在△ABO中，已知点A3、C?0?，正?1,?1,0,3、B比例函数y?图像是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C。 ?x⑴C点的坐标为 ；
⑵以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角?（90°＜?＜180°），使得点B落在直线l上
???O? ?，得到△A的对应点为B?，点A的对应点为AB①∠?=
?O? ②画出△AB⑶写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标。 【答案】解：⑴（-3，3）。 ⑵①900.
②以点O为圆心，OB长为半径画弧交直线l于B’。
以点O为圆心，OA长为半径画弧交AO的延长线于D；分别以点A，D为圆心，大于OA长半径画弧，两弧交于E，F，连接EF；以点O为圆心，OA长为半径画弧交EF于A’（在OB的反方向上）。
连接OA’，A’B’，△A?OB?即为所求。（画图略）
?33，33，-9 ⑶9，【考点】一次函数，尺规作图，平移，旋转，相似三角形．
【分析】⑴C点的纵坐标与A点相同，为3，又C点在y??x上，所以C点的横坐标为-3。 ⑵①由于点B坐标为??1,?1?，从而OB与X轴负方向夹角为450，又OC与X轴负方向夹角为450，因此∠?=900。 ②关键在作OA的垂线。
????
⑶易求OA?23,0B?2,OC?32，
0OC?3.考虑变形 OB右旋90扩大3倍，?1?????，C??3，3?，因此点A也按上述变形得D1： B??1??11?????A?右旋90扩大3倍3，3?????3，?3?????D19，-33，则?D1OC∽?AOB；
?0?????9，则?D2OC∽?AOB 作D1关于y??x图像（直线l）的对称点 D233，??
3．（2011江苏镇江,28,10分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A??且与y轴平行，1,0直线l2过点B轴平行，直线l1与直线l2相交于点P。点E为直线l2上一点，反?0?且与x,2比例函数y?k（k＞0）的图像过点E与直线l1相交于点F。 x⑴若点E与点P重合，求k的值；
⑵连接OE、OF、EF。若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标； ⑶是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。
??且与y轴平行，直线l2过点B?0?且与x【答案】解：（1）∵直线l1过点A轴平行，1,0,2直线l1与直线l2相交于点P，∴点P（1，2）。 若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂 足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形