∵PE⊥PF，
?k??k? ∴E?,2?，F?1，k?,G?,k?
?2??2? ∴S△PEF＝
11?k1?PF?PE???1??k?2??k2?k?1 22?2?4 ∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF＝S△GFE，
∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE＝
k1?1?1k?k??1?k??k2?k?1????2 22?4?221=k2?1 41?1?∵S△OEF＝2S△PEF， ∴k2?1=2?k2?k?1?，解得k＝6或k＝2，
4?4?∵k＝2时，E、F重合，舍去。 ∴k＝6， ∴E点坐标为：（3，2）。 （3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H
BMEM?, FHFMk∵FH＝1，EM＝PE＝1－ ，FM＝PF＝2－k，
2k1?BM2, ?BM?1。 ?∴12?k2∵△FHM∽△MBE， ∴在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2， ∴（1－
kk1 ）2＝（ ）2＋（）2 22233解得k＝ ，此时E点坐标为（ ，2）。
48②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
BMEM? 。 FQFM∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝ ∴k －1， 2BMk?2?， BM=2 ＝ ，BM＝2 k1?12
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2
k221616）＋2，解得k＝ 或0，但k＝0不符合题意， ∴k＝ ． 2338此时E点坐标为（ ，2）
338∴符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）．
83∴（k－2）2＝（
【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。 【分析】（1）易由直线l1，l1求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在y?坐标满足函数关系式，求出k。
（2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出k。 （3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出k。要注意应根据点P、E、F三点位置分k＜2和k＞2两种情况讨论。
k图象上，x
2013年中考压轴题复习(四)----相似篇(6)
1.（2012云南,23,9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y??交y
轴于点A，抛物线y?? 两点.
⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；
⑵ 过点A作AC?AB交x轴于点C，求点C的坐标；
⑶ 除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得?MAB是直角三角形？若存 在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
[答案] ⑴y??1x?2交x轴于点P，312并与直线相交于A、B x?bx?c的图象过点E(?1,0)，
22123x?x?2；⑵C(?,0)；
3229211?6511?6592,0)、或(,0)、或(,0)、或(0,?)
96627 ⑶(0,)、或(79[考点] 曲线上点的坐标与方程的关系，一次、二次函数的性质，相似三角形的判定和性
质，数学分类讨论思想
本题考查二次函数、一次函数图象上点的坐标与方程的关系，一次、二次函数
的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的高的性质，数学分类讨论思想
[解析] ⑴《课标》要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，根据抛物线经
过点A、点E，可以求出b与c的值，从而求得抛物线的函数解析式；⑵点C在x轴
t?CAP上，其纵坐标为0，在R?OA?CP，中，利用AO?CO?OP可求得CO，
2从而得点C的横坐标；⑶分类讨论，就?MAB直角位置的变化，分别求出M的坐标。
解： ⑴如图，因为一次函数y??1x?2交3y轴于点A，所以，xA?0，?yA?2，
即A(0,2).
又，一次函数交x轴于点P，所以，
yP?0，?xP?6，即P(6,0).
由A(0,2)、E(?1,0)是抛物线y??12x?bx?c的图象上的点， 23?C?2???b??? ??12
??b?C?0???2?C?2 所以，抛物线的解析式是： y??123x?x?2 22⑵ 如图，?AC?AB、OA?OP
∴ 在Rt?CAP中，?OA?CP
AO2222?AO?CO?OP?CO???OP632 ∴点C的坐标：C(?2,0) 3⑶设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得?MAB是直角三角形，
即?AMB?Rt?或?ABM?Rt?
Ⅰ.在Rt?MAB中，若?AMB?Rt?，那么M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，
这时M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上. ⅰ.若交点在y轴的正半轴上（如图），设
M(0,m)，则有， m?yB(B点的纵坐标)
1?y??x?2?117?3?B(,) ?39?y??1x2?3x?2??2277，此时M(0,) 99 ⅱ.若交点在x轴的正半轴上（如图），设
?m?M(n,0)，此时过B作BD垂直x轴于点D，则有?AOM??MDB，于是：
AOOM??OM?MD?AO?DB MDDB117 ?n(?n)?2?，
39
?n1?11?6511?65， ,n2?6611?6511?65,0)或M(,0) 66 此时，M( Ⅱ.在Rt?MAB中，若?ABM?Rt?，即过B作BM?AP，这时M会在x轴
的正半轴上和y轴的负半轴上. ⅰ. M在
x轴的正半轴上，如图，设
M(t,0)，同样过B作BD垂直x轴于点D，则
2在Rt?PBM中，有BD?MD?DP
111192?t)(6?)?t?， 332792 此时， M(,0)
27 ?()?(279 ⅱ. M在y轴的负半轴上，如图，设M(0,?q),(q?0)，过B作BF垂直y轴于
点F，则在Rt?ABM中，有BF?AF?FM，
21127792)?(2?)(?q)?q? 399992 此时， M(0,?)
9即：?( 综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点
使得?MAB是直角三角形，满足条件的点MM，
的坐标是：(0,)、或(7911?665,0、)或
11?(6
926592,0、)或(,0)，或(0,?)共五个点.
9272．（2012山东青岛,24,12分）如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E
分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点