【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。
（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对
称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。
（4）分两种情况进行讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得22+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存
在。
2.（2011临沂,26,13分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D的坐标； （3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．
2
解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得
，
解得．
2
故抛物线的解析式为y=x+2x；
（2）①当AE为边时， ∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴DE=AO=2，
则D在x轴下方不可能， ∴D在x轴上方且DE=2， 则D1（1，3），D2（﹣3，3）；
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平方， 因为点E在对称轴上，
且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1） 故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；
（3）存在， 如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得： 222
BO=18，CO=2，BC=20，
222∴BO+CO=BC． ∴△BOC是直角三角形．
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似， 设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x+2x， ①若△AMP∽△BOC，则即 x+2=3（x+2x） 得：x1=，x2=﹣2（舍去）．
2
2
=，
当x=时，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，则
2
=，
即：x+2x=3（x+2）
得：x1=3，x2=﹣2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用
平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．
2013年中考压轴题复习(四)----相似篇(3)
1
1．（2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于
2
点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
1 7
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，
22
得到新抛物
线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．
1
【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
2
?0?c??4 ?b??1 ?，解得，?。 2?2b?c?0c??4?? 1
∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。
2
:]
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=即：y=x2+?m?1?x+m2?m?17?x+m?2??x+m??4+， 2212121。它的顶点坐标P（1－m，－1）。 2由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。 ∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。
当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=
5； 2当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜
5 。 2
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。
如图，在△ABN、△AM1B中， ∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B， ∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1； 由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20， 又AN=OA－ON=4－2=2，
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。 综上，AM的长为6或2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其
代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，
显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。
2．(2011福建莆田,24,12分)
已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，?3)． （1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。
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