乘法公式可以推广到n个事件的场合，即有
P?A1A2?An??P?A1?P?A2A1?P?A3A1A2??P?AnA1A2?An?1??P?A1??P?AkA1A2?Ak?1?k?2n
2.全概率公式
定理：设B为一个事件，又设A1,A2,?,An为两个不相容的事件，即Ai?Aj??,i?j，且B?
?A，则如下公式成立：
ii?1nP?B???P?BAi?P?Ai?
i?1n这个公式被称为全概率公式。
3. 贝叶斯?Bayes?公式
定理：设A1,A2,?,An为两两个不相容的事件，即Ai?Aj??,i?j，且
P?Ai??0,1?i?n。又设B为一事件，它满足B??Ai，P?B??0，于是如下公式成立
i?1nP?AiB??P?Ai?P?BAi??P?A?P?BA?jjj?1n
这个公式称为贝叶斯公式。【用来追究责任】
几点说明：假定A1,A2,?,An为决定随机试验结果的原因，则P?Ai?被称为先验概率。先验概率是随机试验前就知道的。如果随机试验导致事件B发生，那么PAiB被称为后验概率。它反映了事件B发生后，导致B发生的各种可能的原因Ai,i?1?i?n，的可能性的大小。若PAiB较大，我们就认为是Ai导致B发生的可能性也较大。
????四.事件的独立性
定义：设A、B为两个事件，如果P?AB??P?A?P?B? ，就称A、B是相互独立的. 定理：事件A、B相互独立的充分必要条件是PAB?P?A???
这里我们假设P?B??0。
定理：事件A和B相互独立的充要条件是PAB?PAB???? 这里假设0?P?B??1。
推论：事件A和事件B相互独立，等价于PAB?PAB?P?A? 这里假设0?P?B??1。 推论告诉我们，如果事件A与B相互独立，则B发生与否对A发生的可能性没有影响。反之若B发生与否对A发生的可能性没有影响，则A与B相互独立。 定理：若事件A与B相互独立，则以下事件A,B,???????A,B?,?A,B? 也相互独立.
五.多个事件的独立性
定义：设A,B,C为三个事件，如果有
P?AB??P?A?P?B? P?BC??P?B?P?C? P?AC??P?A?P?C? P?ABC??P?A?P?B?P?C?
则称A,B,C相互独立
定义：设A1,A2,...An为n个事件，若对所有的组合有
PAi1Ai2?PAi1PAi2,1?i1?i2?n
PAi1Ai2Ai3?PAi1PAi2PAi3,1?i1?i2?i3?n
??
??????????????????PAi1Ai2?Aik?PAi1PAi2?PAik,1?i1?i2???ik?n
??
????P?A1A2?An??P?A1?P?A2??P?An?,
则称A1,A2,?,An相互独立。
?，1?i?n，?,A?,?,A? 也相互独立，这里A定理：若事件A1,A2,?,An相互独立，则Ai12n表示Ai或Ai。
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量
1概 念
随机试验的每一个可能的结果e（即每一基本事件），对应样本间的集合???e?中每一元素，我们都可以设令一个实数X?e?来表示该元素，显然，X?e?为实值单值函数
X?X?e?，称X为随机变量。
二、随机变量的分布函数
2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）
定义：F?x??P?X?x?为X的分布函数。它就是X落在任意区间???,x?上的概率，本质上是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。
2.F?x?具有下列重要性质：
?a? 单凋不减；因为区间越大，概率越大。
F?x??1, F?????limF?x??0； ?b? F?????xlim???x????c??P?x1?X?x2??P?X?x2??P?X?x1??F?x2??F?x1???P?x1?X?x2??P?X?x2??P?X?x1????F?x2??F?x1?0??Px?X?x?PX?x???PX?x???Fx?0?Fx?0?????2??1?2?21??1?P?x?X?x??P?X?x????P?X?x??F?x?0??F?x?122121? ?
??P?X?x0??F?x0??F?x0?0??F?x0??limF?x?x?x0?0??P?X?x??1?P?X?x??1?F?x?000???P?X?x0??F?x0?0?(d)F?x?右连续??F?x0?0??F?x0?; 且 F?x0?0??F?x0???
其中，P?X?x0??F?x0??F?x0?0??F?x0??limF?x?是计算离散型分布函数
x?x0?0的重要公式。
注：对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。
2．2 离散型随机变量的分布律（概率分布）
当随机变量所取的有限个或可列个值，能够按照由小到大的
顺序排列时，称为离散型随机变量。
P?X?x0??F?x0??F?x0?0??F?x0??limF?x?。
x?x0?0 设离散型随机变量X的可能取值为xk?k?1,2,??，事件?X?xk?的概率为
P?X?xk??pk
，离散型分布函数称为离散分布律，一般使用列表表示。注意 : ?pk?1。要
k?1?求掌握的离散性分布律有5种：0?1分布，伯努利二项分布，泊松分布，几何分布和超几何分布。
2.3 连续型随机变量的概率密度（分布密度）
或分布F?x???f?t?dt 称为连续分布函数 f?t??F??x?称为概率密度，
??x密度。
离散型分布函数反应在各个分布点上，而连续型分布点上的分布函数为0，显然不能反应其分布本质，故而使用其相应的f?x?概率密度或称分布密度来反应分布规律。
●连续型F?x?具有下列性质
?a? 连续型F?x?是连续函数（左右均连续），即：F?x?0??F?x?； ?b? 连续型F?x?几何意义是面积，且：F?x?x0??0； ?c? F??????????f?t?dt?1, F??????????f?t?dt?0
要求掌握的连续型分布函共有3种：均匀分布，指数分布和正态分布。 考点用到的 5个分布函数组合的重要结论
?1? 只有存在概率密度（不恒为零）的随机变量才称为连续型，但不能错误认
为分布函数连续的随机变量为连续型。如分布函数F?x??100, x?1 就不是连续型。
?2? 若F1?x?, F2?x?, ?, Fn?x?均是分布函数，则当 ai?0, ?ai?1 时
i?1n ?aiFi?x?和?aiFi?x?仍然为分布函数 。
i?1i?1nn?3? 若f1?x?, f2?x?, ?, fn?x?均是分布函数，则当 ai?0, ?ai?1 时
i?1n ?aifi?x?仍然为分布函数，但?aifi?x?不一定是分布函数。
i?1i?1nn?4? 如果X为连续型，则Y?aX?b也是连续型，且fY?y??1?y?b?fX??，若aa??如果X为离散型，则Y?aX?b却不一定为离散型，如X服从泊松分布，
Y?aX?b就不再是泊松分布。
?5? 普适分布函数和离散型分布函数右连续；连续型分布函数左右都连续；但
密度函数不
一定连续，而且一般规定：区间端点（注意不是分界点）处密度函数值取零。
2.4 离散型与连续型随机变量的关系
Px? P?X?x???X?x??dx???f xdx可见，积分元f?x?dx在在连续型随机变量理论中与P?X?xk??pk在离散型随机变量理论中所起的作用地位相同，这与微分的几何意义完全一致。
2.5 一维随机变量的8大分布（3个离散分布+5个连续分布）
（1） 两点分布（又称0-1分布）B?1, p?
模 型：伯努利试验变量X只有两种可能结果（对立），随机变量X使用0与1 两种取值。如每次A发生的概率为p，共试验了1次，求其中A发生的概率（放回抽样）。
, ? PX??0?1?p? P?X?1??p q0-1分布为： P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?1,2(0?p?1) （2）伯努利二项分布B?n, p?
模 型：随机试验结果只有两种，如每次A发生的概率为p，共试验了n次，求