?limFX(x??x)FY(y)?FX(x)FY(y)[F(x??x)?FX(x)]FY(y) ?limX?x?0F(x??x)F(??)?F(x)F(??)?x?0F(x??x)?F(x)XYXYXX= FY (y)= P{Y ? y}.
这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.
一、离散型
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为 P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, ?),
(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为
pi??P{X?xi}??pj?1?ij, i = 1, 2, ?;
p?j?P{Y?yj}??pi?1?ij, j = 1, 2, ?.
则X和Y相互独立的充要条件是
P{X = xi, Y = yj} = P{X = xi} P{Y = yj}, 即pij =pi?p?j
二、连续型
设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y), 关于X和Y的边缘概率密度为fX (x)和fY (y), 则X和Y相互独立的充要条件是等式：f (x, y) = fX (x) fY (y)几乎处处成立. 三、推广到n维随机变量的情形.
设n维随机变量(X1, X2, ?, Xn)的联合分布函数为F(x1, x2, ?, xn), 若存在非负函数f (x1, x2, ?, xn), 使得对于任意实数x1、x2、?、xn, 有
F(x1, x2, ?, xn) =
????xnxn?1????x1??f(x1,x2,?,xn)dx1dx2?dxn,
则称f (x1, x2, ?, xn)为n维随机变量(X1, X2, ?, Xn)的联合概率密度.
称FX1(x1)?F(x1,??,?,??), FX1,X2(x1,x2)?F(x1,x2,??,?,??), ?为关于X1, (X1, X2), ?的边缘分布函数, fX1(x1)?fX1,X2(x1,x2)?????????????????f(x1,x2,?,xn)dx2dx3?dxn,
????????????????f(x1,x2,?,xn)dx3dx4?dxn, ?
为关于X1, (X1, X2), ?的边缘概率密度.
若对于所有的x1、x2、?、xn, 有F(x1, x2, ?, xn)?FX1(x1)FX2(x2)?FXn(xn), 则称X1, X2, ?, Xn是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x1、x2、?、xm; y1、y2、?、yn, 有
F(x1, x2, ?, xm; y1, y2, ?, yn) = F1 (x1, x2, ?, xm) F2 (y1, y2, ?, yn)
其中F1、F2和F依次为(X1, X2, ?, Xm)、(Y1, Y2, ?, Yn)和(X1, X2, ?, Xm; Y1, Y2, ?, Yn)的分布函数, 则称随机变量(X1, X2, ?, Xm)和(Y1, Y2, ?, Yn)是相互独立的.
定理：设随机变量(X1, X2, ?, Xm)和(Y1, Y2, ?, Yn)相互独立, 则Xi (i = 1, 2, ?, m)与Yj(j = 1, 2, ?, n)相互独立. 又若h、g是连续函数, 则h(X1, X2, ?, Xm)和g(Y1, Y2, ?, Yn)也相互独立.
4.两个随机变量的函数分布 1. Z=X+Y的分布
例１设（X，Y）的概率密度为 f (x,y),求Z=X+Y的概率密度.
解：随机变量Z的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)?D={(x, y): x+y ≤z}是直线x+y =z 左下方的半平面. 即FZ(z)???f(x,y)dxdy,这里积分区域
Dx?y?z??f(x,y)dxdy化成累次积分,得F(z)??[?Z???z?y??f(x,y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x?u?y,得FZ(z)??????[?f(u?y,y)du]dy
??z??[?f(u?y,y)dy]du(更换积分次序)
????z?由概率密度的定义, 得Z=X+Y的概率密度为: fZ(z)?FZ'(z)?由X和Y的对称性, fz(z)又可写成fZ(z)?FZ'(z)????f(z?y,y)dy
????f(x,z?x)dx
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别地，当X和Y相互独立时，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
fZ(z)? fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy fX(x)fY(z?x)dx
???这两个公式称为卷积公式，记为fX?fY.
一般地，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，即若
Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n)，且它们相互独立，则它们的和Z?X1?X2???Xn仍然
服从正态分布，且有Z~N(?1??2????n,?1??2????n).
2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
例、设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。
解：（1）由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于Z，故有P{M?z}=P{x?z,y?z}. 又由于X和Y相互独立，得到M=max(X,Y)的分布函数为
222Fmax(z)?P{M?z}?P{X?z}P{y?z}即有：Fmax(z)?FX(z)FY(z)
（2）类似可得，
Fmin(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,y?z}?1?P{X?z}P{y?z}?1?(1?P{X?z})(1?P{Y?z})?1??1?FX(z)??1?FY(z)?
即：Fmin(z)?1??1?FX(z)??1?FY(z)?
以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况。设X1,X2,?,Xn是n个相互独立的随机变量。它们的分布函数分别为FXi(xi)(i?1,2,?,n)，则M?max(X1,X2,?,Xn)和
N?min(X1,X2,?,Xn)的分布函数分别为
Fmax(z)?FX1(z)FX2(z)?FXn(z)，Fmin(z)?1?[1?FX1(z)][1?FX2(z)]?[1?FXn(z)]
特别地，当X1,X2,?,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)有
Fmax(z)??F(z)?；Fmin(z)?1?[1?F(z)]n
n 第四章 随机变量的数字特征
一 、 数学期望的概念
定义1：设X为一离散型堕机变量，其分布列为P(X?xi)?pi,(i?1,2,?)，若级数
?xpii?1?i绝对收敛，则称这级数为随机变量X的数学期望，简称期望或均值.记为E(X)，
?即E(X)=
?xpii?1i，否则，称X的数学期望不存在.
定义2：设X为一连续型随机变量，其概率密度函数是f(x)，若积分敛时，则称E(X)??????xf(x)dx绝对收
?????xf(x)dx 为随机变量X的数学期望，否则称X的数学期望不存在.
二、数学期望的性质
性质1：E(C)?C (c为常数) 性质2：E(cX)?cE(X) (c为常数) 性质3：E(X?Y)?E(X)?E(Y);
性质4：设X、Y相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y).
性质3、4可推广到任意有限个变量中，但运用性质4时各变量必须相互独立.
定理：（柯西—许瓦茲不等式）对任意两个随机变量?与?，都有[E(??)]?E(?)E(?). 定理：如果X是一离散型堕机变量，概率分布列为P?X?xk??pk,(k?1,2,?)，则它的函数Y?g(X)的数学期望E[g(X)]可按下面公式计算：E(Y)?E[g(X)]?222?g(x)pkk?1??k.
定理：如果X是连续型随机变量，密度函数为f(x),则Y?g(X)的期望可按下面公式计算：
E(Y)?E[g(X)]??g(x)f(x)dx
????上面两个公式的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必知道Y的分布，只要知道X的分布就可以了.
推广：多维随机变量的情形
例如：设Z是随机变量X、Y的函数，Z?g(X,Y)（g是连续函数），那么，Z也是一个随机变量，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则有 E(Z)?E[g(X,Y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy
若二维随机变量(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为P??X?xi,Y?yi??pij（i,j?1,2,?），则有E(Z)?E[g(X,Y)]???g(x,y)piij?1i?1????ij
方 差
一、 方差的概念
定义 1 ：设X为一随机变量，若E[X?E(X)]存在，则称E[X?E(X)]为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即
?2??2?D(X)?Var(X)?E?[X?E(X)]2?
而称D(X)为X的标准差或均方差，记作?(X).
由定义1可知，若X是离散型随机变量，其分布列为P(X?xi)?pi,i?1,2,?则
D(X)??[xi?E(X)]2pi
i?1??
若X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),则
D(X)??[x?E(X)]2f(x)dx
????由方差定义及数学期望的性质可推导出方差的计算公式： D(X)?E(X)?[E(X)] 三、 方差的性质
22?cD?; 性质1：D(c)?0; 性质2：D(c?）性质3：若X、Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y); 性质4：若D(X)?0，则P?X?E(X)??1.
2性质5：若c?E(X)，则D(X)?E(X?C). 推论 若?1,?2,...,?n相互独立，则
22D(c1?1?c2?2???cn?n?b)?c12D?1?c2D?2??cnD?n， 其中，c1,c2,?,cn,b均是常
2数。特别有D(?1??2????n)?D?1?D?2???D?n. 【方差的性质有助于简化方差的计算.】
对于随机变量，如果E?和D?存在，且D??0,我们可以考虑一个变换
??*??E? D?
显然E??0,D??1.我们称期望为0，方差为1的随机变量为标准化随机变量，称
**?*???E?*为标准化变换，?也称为标准化随机变量. D?二、 常见分布的数学期望
1． 二点分布
设?～b(1,p),即P(??0)?q,P(??1)?p,0?p?1,p?q?1.有
E??0?q?1?p?p.
已知E??p,而E(?)?0?q?1?p?p,于是D??p?p?p(1?p)?pq.
2． 二项分布
设?～B(n,p),即P(??i)?Cnpq有E??nniniin?i2222, i?0,1,2,…,n, 0?p?1, p?q?1.
n?i?i?P(??i)??i?Cpqii?0i?0n?1??i?1nnp?(n?1)!piq(n?1)?(i?1)
(i?1)![(n?1)?(i?1)]! ?np(p?q)2n?np
in?iiin?i??[i(i?1)?i]Cnpqi?0nE(?)??iCpq2ini?0?n(n?1)p2(p?q)n?2?np?n(n?1)p2?np，
于是D??E(?)?(E?)?n(n?1)p?np?(np)?npq.
3． 泊松分布
2222