其中A发生k次的概率（放回抽样）。
kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?1,2,?,n.
（3）泊松分布P???
模 型：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。 (1)在时间
内流过质点数的概率仅与
有关，与t无关；
(2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；
(3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数； 单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。
P?X?k???kk!e??~P???, k?0,1,2,? 当p很小时，有P????limB?n,p?, 其中 ??np。
n??（4）几何分布G?p?
模 型：随机试验结果只有两种，如每次A发生的概率为p，试验一直继续，直到A发生为止，求第k次（放回抽样）A才发生的概率。
P?X?k???1??p（5）超几何分布H?n, M, N?
模 型：随机试验结果只有两种，如N件产品，其中有M件次品，从中取n件（不放回和放回抽样结果相等），含有k个次品的概率。
kn?kCMCN?MP?X?k??~H?n, M, N?, k?0,1,2,?,min?M,n? nCNk?1p?k?1q~p?G?,p ?k1,?2, 3,（6）均匀分布U?a, b?
模型：设随即变量X的值落在?a, b?内，其内取值具有“等可能”性，即其密度
分布f?x?在?a, b?上为常数
1，即 b?a?1, a?x?b?f?x???b?a~U?a, b? 注意区间为开区间，端点的分布密度值取零?? 0, other
?0, x?a?xx?a?f?x?dx???f?x?dx?, a?x?b ab?a???1, x?bF?x???x?? P?a?x1?X?x2?b??F?x2??F?x1??（7）指数分布exp(?)
x2?x1 b?a模 型：在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般X~exp(?)。例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）；随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。
xx?1?????x?0?F(x)??1?e?x?0，记为X~exp(?) f(x)???e???x?0x?0?0?0指数分布计算中常用到?函数：如 ??n?1?????0xne?xdx?n! 等等。
指数分布的特点是：“无记忆性”，即P?x0?X?x0?x|X?x0??P?X?x? （8）正态分布N??, ?2?
模 型：在实践中，如果随机变量X表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地服从正态分布。如：测量产生的误差；弹着点的位置；噪声电压；产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。尽管它来源于连续型，但它是任何分布在样本数一般大于45时的极限分布。而且，根据中心极限定理，若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正态分布，它是数理统计的基础，是概率与数理统计中的第一大分布。
f?x??1e2??12??2x?????2?22~N??, ?2?, x????,????Y?aX?b~N??a??b?, ?a?????F?x???x??e??x???22?2dx 1?x2e~N?0,1?，称为标准正态分布。此时分布函数 当??0, ??1?f?x??2?2????x??1???x?????0??1?P?X?0??P?X?0??2t2x?1?为??x?? e2dt???X???????~N0, 1??2???????????x2????x1???Px?X?x??????12?????????????X???设X~N??, ?2?，则 ???~N?0, 1?（重要结论，务必记住）
???B?n, p?，G?p?，8大分布产生的背景如下，伯努利试验产生的分布有：0?1分布，P???，E???。U?a, b?，H?n, M, N?。泊松流产生的分布有：误差产生的分布有：N??, ?2?。
第三章 多维随机变量及其分布
一.二维随机变量
1.定义：设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 定义：设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数
F(x, y) = P{(X x)∩(Y y)}= P{X x, Y y} 称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
分布函数F(x, y)表示事件(X x)与事件(Y y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X, Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..
由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y)落在矩形区域{x1 < X x2, y1 < Y y2}的概率为
P{x1 < X ? x2, y1 < Y ? y2} = F(x2, y2) ? F(x2, y1) ? F(x1, y2) + F(x1, y1)
2.二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:
1、F(x, y)是变量x和y的单调不减函数, 即当x1 < x2时, F(x1, y) ? F(x2, y); 当y1 < y2时, F(x, y1) ? F(x, y2).
2、0 ? F(x, y) ? 1, 且F(??, y) = 0, F(x, ??) = 0, F(??,??) = 0, F(+?,+?) = 1. 3、F(x, y)关于x和y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).
4、对任意的(x1, y1)、(x2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) ? F(x2, y1) ? F(x1, y2) + F(x1, y1) ? 0.
3.二维离散型随机变量
如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ?). 记：P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, ?)，则由概率定义有 pij ? 0;
??pi?1j?1??ij?1.我们称
P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, ?)为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表格表示. 其分布函数为
F(x,y)?xi?xyj?y??P{X?x,Y?y}=??pijxi?xyj?yij
这里
xi?xyj?y??表示对一切xi ? x, yj ? y的那些指标i、j求和.
4.二维连续型随机变量
设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F{x, y}, 若存在非负函数f (x, y), 使对任意的x、y有
F(x,y)?????yx??f(u,v)dudv，
则称(X, Y)为连续型的二维随机变量, f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度, 或称随机变量X、Y的联合概率密度.
5.概率密度f (x, y)具有以下性质:
1、f (x, y) ? 0; 2、?2F(x,y)?f(x,y) 3、若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有
?x?y??????????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1
4、设G是xOy平面上的一个区域, 则点(X, Y)落在G内的概率为
P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy
G二. 边 缘 分 布
设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为F(x, y), 事件{X ? x}即为{ X ? x, Y < +?}, 从而由(X, Y)的分布函数可定出X的分布函数, 记为FX (x).
FX (x) = P{X ? x} = P{ X ? x, Y < +?} = F(x, +?)=limF(x,y).
y???我们称FX (x)为关于X的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y的边缘分布函数为
FY (y) = P{Y ? y} = P{X < +?, Y ? y}= F(+?, y) = limF(x,y).
x???1.离散型
设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, ?), 则
FX(x)?F(x,??)???xi?xj?1??pij, FY(y)?F(??,y)?yi?yi?1???pij.
从而X与Y的分布律分别为 2, ?，
记 pi??P{X?xi}?P{X?xi}??pj?1ij, i = 1, 2, ?; P{Y?yj}??pi?1?ij, j = 1,
?pj?1?ij, i = 1, 2, ?;
p?j?P{Y?yj}??pi?1?ij, j = 1, 2, ?.
分别称pi ?和p? j为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律.
2.连续型
设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y), 由 FX(x)?F(x,??)?????x[????f(x,y)dy]dx;
FY(y)?F(??,y)?????y[????f(x,y)dx]dy.
知X与Y都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为
fX(x)??????f(x,y)dy;
fY(y)??????f(x,y)dx.
称fX (x)与fY (y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度.
3.相互独立的随机变量
定义 设F(x, y)及FX (x)、FY (y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、y, 有
P{X ? x, Y ? y} = P{X ? x} P{Y ? y}, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)
则称随机变量X和Y是相互独立的.
可见, 在随机变量X和Y相互独立的情况下, 由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数, 而且还可推得
P{Y?yX?x}?P{Y?y,X?x}P{Y?y,x?X?x??x}F(x??x,y)?F(x,y)?lim?lim?x?0?x?0F(x??x,??)?F(x,??)P{X?x}P{x?X?x??x}