mm?n??1mn?()2?x2?m2n2,m?n类似可得，F(n1,n2)的密度函数为h(x)??mn?()?()(mx?n)2?22??0图5-5描绘了几种F分布的密度曲线。
x?0x?0
由F分布的定义容易看出，（1）若F~F(m,n)，则1F~F(n,m)；（2）F的分布曲线不对称；（3）定理：若T~t(n)，则T~F(1,n).
2
图5-5
F分布的上侧?临界值
对于给定的正数?（0???1），称满足P?F?F?(m,n)?????F?(m,n)h(x)dx??的值
F?(m,n)为F(m,n)分布的上侧?临界值。当?不大时，F?(m,n)可查表得到；当?大时，
由F分布性质得知F?(m,n)?四、 分位数
定义：设X的分布函数为F，x?满足F(x?)?P{X?x?}??,0???1，则称x?为F的
1.
F1??(n,m)?分位数（点）。
若X有密度p(x)，则分位数x?表示x?以左的一块阴影面积（如图5-6）为?．
图5-6
几种常用分布(N(0,1),?(n),t(n),F(n1,n2))的分位点都在书后附表中可以查到。其中
2N(0,1)是分布函数表?(x)反过来查，而其它几个分布,则是分别对给出的几个?的常用值，
如?=0,0.25,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975等等，列出相应分布对应?值的分位点。图5-7给
出了四种常用分布的分位点表示方法，其中N(0,1)的?分位点通常记成u?.
图5-7
若X~N(?,?)，要求X的分位数x?可化成求N(0,1)的分位数：
2??P{X?x?}?P{x???u???．
X????x????}，此时
X???~N(0,1)，故
x?????u?，即
五、正态总体的抽样分布
设总体X（不关服从什么分布，只要均值和方差存在）的均值为?，方差为?，x1,x2,?,xn是来自X的一个样本，x，s分别是样本均值和样本方差，则有
221?1n?1nE(x)?E??xi???E(xi)??n???
n?ni?1?ni?1?1n?1?n?1D(x)?D??xi??2D??xi??2?ni?1?n?i?1?n
n2?2?1?n1?n?2?122222?E(s)?E?(?xi?nx)??E(x)?nE(x)?(???)?n(??)???2??i???n?n?1i?1?n?1?i?1?n?1?i?1?21?22D(xi)?2?n?? ?nni?1n2?2D(s)?.
n?12定义：设总体X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn为总体的样本，则 （1）样本均值X~N(?,2?2n)?x???2n?x??~N(0,1)；
?n（2）
(n?1)S2?2~?2(n?1),其中S2为样本方差；
（3）X与S相互独立.
2定理：设X1,X2?,Xn为出自N(?,?)的子样，则T?2X??~t(n?1).
Sn22定理：设X1,X2,?,Xm,Y1,Y2,?,Yn分别为出自N(?1,?)和N(?2,?)的样本，且它们相互独立，则 (1)
2s12s22?12?2~F(m?1,n?1).
2(x?y)?(?1??2)(m?1)s12?(n?1)s22~t(m?n?2)，其中s??(2) .
m?n?211s??n1n2其中x,S1,y,S2分别为相应样本的样本均值和样本方差。
22第六章 参数估计
1. 点估计的常用方法 矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在数定理知, 当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如, 可用样本均值X作为总体均值E(X)的估计量, 一般地, 记
（1）总体k阶矩?k?E(X); （3）总体k阶中心矩 Vk?E[X?E(X)];
1nk1n（2）样本k阶矩 Ak?; （4）样本k阶中心矩 XiBk??(Xi?X)k.
ni?1ni?1kk?用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估
计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法：
设总体X的分布函数F(x;?1,?,?k)中含有k个未知参数?1,?,?k, 则 (1) 求总体X的前k阶矩?1,?,?k，一般都是这k个未知参数的函数, 记为
?i?gi(?1,?,?k),i?1,2,?,k （*）
(2) 从（*）中解得 ?j?hj(?1,?,?k),j?1,2,?,k
(3) 再用?i(i?1,2,?,k)的估计量Ai分别代替上式中的?i,即可得?j(i?1,2,?,k)的矩估计量:???h(A,?,A),j?1,2,?,k.
jj1k注：求V1,?,Vk,类似于上述步骤，最后用B1,???,Bk代替V1,?,Vk，求出矩估计??j (I?1,2,???,k)。
极大似然估计法
最大似然估计法的思想: 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个?作为?的估计??.
注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究. 离散型总体的情形:
设总体X的概率分布为P{X?x}?p(x,?),其中?为未知参数.
如果X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本,样本的观察值为x1,x2,?,xn,则样本的联合分布律
P{X1?x1,,?,Xn?xn}??p(xi,?),
i?1n对确定的样本观察值x1,x2,?,xn,它是未知参数?的函数,记为L(?)?L(x1,x2,?,xn,?)??f(xi,?),并称其为似然函数.
i?1n连续型总体的情形:
设总体X的概率密度为f(x,?),其中为未知参数,此时定义似然函数
L(?)?L(x1,x2,?,xn,?)??f(xi,?).
i?1n似然函数L(?)的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值x,x,?,x的情况下, 则应该选择使达到最大值的那个?作为?的估计??. 这种求点估计的
12n方法称为最大似然估计法.
????(x,x,?,x), 定义：若对任意给定的样本值x1,x2,?,xn, 存在?12n?)?maxL(?), 使 L(??????(x,x,?,x)为?的最大似然估计值.称相应的统计量??(X,X,?,X)为?最大似则称?12n12n然估计量. 它们统称为?的最大似然估计(MLE).
求极大似然估计的一般方法
求未知参数?的最大似然估计问题, 归结为求似然函数的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤: (1) 写出似然函数L(?)?L(x1,x2,?,xn;?)??p(x;?) （离散型）
ii?1nnL(?)?L(x1,x2,?,xn;?)??f(xi;?) （连续型）
i?1?lnL(?)dL(?)?0, 求出驻点; ?0或
d???注: 因函数lnL是L的单调增加函数,且函数lnL(?)与函数有相同的极值点,故常转化为求函数lnL(?)的最大值点较方便.
(2) 令
(3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计
????(X,X,?,X),l?1,2,?,k 值?ll12n注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点；(ii) 上述方法易推广至多个未知参数的情形. 2. 估计量的评选标准
????(X,X,?X)是参数?的估计量，如果E(??)??，则称??为?的无(1) 无偏性：设?12n偏估计量,称??具有无偏性。
?是?的两个无偏估计量，如果D(??)?D(??)，则称??较??更有效.(2) 有效性：设??1，?12212?)?D(??)，则称??为?的最小方差无偏估计。 若对?的任一无偏估计??都有D(?00??????1，则称??为(3) 一致性（相合性）：设??是?的估计量，若???0，有limp?n?????的一致（或相合）估计量.此时称??具有一致性（相合性）.
3. 区间估计
(1) 定义 设总体X的分布函数族为?F(x;?),????．对于给定小概率值值?(0???1)，如
????(X,?,X)，使????(X,?,X)和?果由样本x1,x2,?,xn确定的两个统计量?111n221n?,??]是?的双侧1??置信???????1??对一切???成立，则称随机区间[?得P?1212?为双侧置信下限和双侧置信上限． 区间，称1??为置信度；分别称??1和?2（2）一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为1??） 估计参数 统计量 置信区间 ???2已知 u?X???n~N(0,1) ??z?,?X?2n?X???z?? n2?? ?未知 2t?X??~t(n?1) Snn?S?X?t?(n?1),?n2?X?S?t?(n?1)?? 2n? ?已知 ?2??(x??)ii?12?2~?2(n) ?2 ?n??(xi??)2?i?1,2???(n)2??2?(x??)??ii?1? 2?1??(n)?2??n?未知 ??2(n?1)S2?2~?(n?1) 2?(n?1)S2?,2???(n?1)?2(n?1)S2?? 2?1??(n?1)?2?
（2）两个正态总体的均值与方差比的置信区间
设总体X~N(?1,?1)，且X与Y相互独立，x1,x2,?,xn1为来自于X的Y~N(?2,?2)，一个样本，y1,y2,?,yn2为来自于Y的一个样本，给定置信度为1??，设x,y,s1,s2分别为总体X与Y的样本均值与样本方差. （1）?1??2的置信区间
2222