第15章 转子动力学分析实例
15.1转子动力学理论背景
15.1.1 概述
带有旋转部件的整体结构，比如说飞机引擎，它的动力学行为分析需要旋转部件、定子部件和不同的连接设备的模型。模型的处理过程采用的是有限元方法。为了评估系统的整体动力学性能，在对系统的主要方程进行表述之后也要对其进行不同的分析。
这些分析类型主要如下： ? ? ?
转子系统的临界转速计算；
当系统中包含控制设备时，检查在旋转速度范围内的稳定性也是必要的； 叶片丢失等不平衡引起的振动量级预测。
主要的假定有以下方面。首先，结构元件的振动水平保持弹性和几何线性行为，也就是说转子和定子都假定是线弹性的。非线性行为主要是局部的并且存在于模型装配时。另一方面，有足够能量去获得需要的旋转速度。由于弹性的定子对系统的响应有很大的影响，并且这些结构大多数不是轴对称结构，所以系统用惯性坐标系来描述。
15.1.2 转子
有三种有限元模型可用来描述转子系统。
1D模型：转子用梁、弹簧和集中质量单元来模拟，这个模型计算速度快，它适用于有大量参数需要调整时的初期设计分析。但是，比如前文提到的飞机引擎，这个模型的细节可能需要许多专业的经验还有可能耗费很多时间。
图2.1 梁-弹簧-集中质量模型
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傅立叶模型：转子采用2D傅立叶多谐波单元模拟。对于转子动力学方面的应用，为了描述轴向变形、扭矩变形和弯曲变形与陀螺力矩耦合，必须考虑0和1节径的谐波。这种模型允许旋转设备的更精细模型的开发，它非常适合于带有多数目叶片的旋转机械的建模，也适合圆锥杆的更好的建模
图2.2 2D傅立叶转子模型
为了促进轴对称转子模型和与它耦合的固定部件或其它旋转部件的使用，还要考虑陀螺效应和阻尼的影响，更新了多谐波实体单元和壳单元库。
为了考虑转子的离心刚度，同时采用不同谐波是一个简单的方法，在瞬态分析中，它可以在同样的运行中做到。另一方面，单元库包含一种专门的连接单元，这种单元可以考虑3D模型和傅立叶模型之间或轴上的一个3D节点和傅立叶模型之间的耦合。
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位移场采用傅立叶级数形式展开，有限元建模在参考子无午面上进行。
θ)?φr?r,z?cos(θ)?φr?r,z?sin(2θ)?φr?r,z?cos(2θ)?... φr?r,z,θ??φr?r,z??φr?r,z?sin(112021 φ?r,z,θ??φ01?r,z??φ10?r,z?sin(θ)?φz?r,z?cos(θ)?φz?r,z?sin(2θ)?φz?r,z?cos(2θ)?...zzz 00101120210110112021ur?r,z,θ??ur?r,z??ur?r,z?cos(θ)?ur?r,z?sin(θ)?ur?r,z?cos(2θ)?ur?r,z?sin(2θ)?...uz?r,z,θ??uz?r,z??uz?r,z?cos(θ)?uz?r,z?sin(θ)?uz?r,z?cos(2θ)?uz?r,z?sin(2θ)?...011011202100101120210010112021θ)?uθ?r,z?cos(θ)?uθ?r,z?sin(2θ)?uθ?r,z?cos(2θ)?... uθ?r,z,θ??uθ?r,z??uθ?r,z?sin(
uθ?r,z,θ??φθ?r,z??φθ?r,z?cos(θ)?φθ?r,z?sin(θ)?φθ?r,z?cos(2θ)?φθ?r,z?sin(2θ)?...3D模型：用体单元（六面体、棱柱或者四面体）或者壳单元描述转子系统。
图2.3 3D转子模型
当需要加速计算时，就会想到对转子模型进行简化，这可以通过超单元来实现。 位移场可以通过自由度矢量q描述，在惯性坐标系中，惯性力通过动能的离散表达式得到的。
T?1T?Mq???q?TG'qq21?????Gq???fi?MqGq
2这里： M是质量矩阵 G是陀螺矩阵
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Ω是相应转子的角速度
由于转子和支撑设备的弹性，陀螺效应随着转子向量的方向而变化。按照前面的规定，旋转速度是一个将要解决的已知问题。
U?1TqKq2弹性力是通过惯性坐标系里的应变能的离散方程得到的。
fe?Kq这里K是刚度矩阵。由于初始装配、离心荷载或者任一其他的荷载存在预应力，弹
力就有如下修改：
fe?(K0?K?)q这里K?是几何刚度矩阵，这里的刚度不一定非要各向同性，但是为了保持常数矩阵
在圆周的方向，各向同性是需要的。
如果假设有粘性阻尼，阻尼力通过分散函数来表达。
F?形式：
1T?rBq?rq2这里qr 是旋转坐标系里的广义位移。在惯性坐标系里，得到的粘性阻尼力有如下
???BCircqfd?Bq这里：
B是粘性阻尼矩阵；
BCirc 是补充阻尼或者循环力矩阵。
通常，旋转组件中的阻尼和装配时摩擦力有关。粘性模型就不适合了，滞后模型是比较适合的。滞后阻尼的数学表述仅在频域有效。在时域里描述阻尼行为的一种方法是用可变的粘性阻尼。在这种情况下，粘性阻尼力就由特征频率给分开了。
fd?
1???BqBCircq?(t)?(t)注意这种方法是近似的，更好的方法就是在装配阶段包含摩擦力。
15.1.3 定子
从单自由度的等效弹簧到完全的3D模型，定子模型是比较典型的，并且非转动部分可以被有限元库来描述。对于转子动力学，在定子部分也要引入阻尼。
T?
1T?SMSq?Sq2310
qS的自由度向量描述了定子的位移域，惯性力由惯性坐标系下的动能离散方程来表达。
??SFi?MSq
这里，MS是定子质量矩阵，弹力来源于惯性坐标系中的应变能的离散方程
这里KS是刚度矩阵。预加应力的二阶影响可以考虑进来。
粘性阻尼力有如下形式
这里BS是粘性阻尼矩阵。
通常，旋转组件中的阻尼和装配时摩擦力有关。粘性模型就不适合了，滞后模型是比较适合的。因为这个模型没有遵从因果关系，所以滞后阻尼的数学表述仅在频域有效。在时域里描述阻尼行为的一种方法是用可变的粘性阻尼。在这种情况下，粘性阻尼力就由特征频率给分开了。
图3.1 定子模型
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U?1TqSKSqS2fe?KSqSF?1T?SBSq?Sq2如果阻尼是粘性阻尼，阻尼力源自于分散方程。
?Sfd?BSqfd?1?SBSq?(t)