第一章习题解答
1-3 一粒子按规律x?t3?3t2?9t?5沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔． [解] 由运动方程x?t3?3t2?9t?5可得 质点的速度 v?dx?3t2?6t?9?3?t?3??t?1? （1） dtdv粒子的加速度 a??6?t?1? （2）
dt?3s时，v?0，粒子沿x轴正向运动； ?3s 时，v?0，粒子沿x轴负向运动． ?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴正方向； ?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴负方向．
由式（1）可看出 当t 当t由式（2）可看出 当t 当t因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t?3s或0?t?1s间隔内粒子加速运动，在1s?t?3s间隔内里粒子减速运动．
1-4 一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1? （S1）．试求： （1）质点的轨迹方程;（2）
2在t?2s时，质点的速度和加速度．[解]（1） 由质点的运动方程 x?t2 y??t?1? 消去
2参数t，可得质点的轨迹方程 y??x?1
?2 （2） 由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx?dxdy?2t vy??2?t?1?所以 v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j （3） dtdtd2xd2yax?2?2 ay?2?2所以 a?2i?2j （4）
dtdt 把t?2s代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度．
v?4i?2j a?2i?2j
1-5 质点的运动学方程为x?Asin?t，y?Bcos?t，其中 A、B、?为正常数，质点的轨道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心．
?t （1）y?Bcos?t（2） [证明] 由质点的运动方程 x?Asind2x2??A?si?tn 对时间t求二阶导数，得质点的加速度 ax?2dtd2yay?2??B?2co?st 所以加速度矢量为 a???2?Asin?ti?Bcos?tj????2r
dt 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心．
1-6 质点的运动学方程为r?2ti?2?t2j （SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2） t?2s时质点的速度和加速度．[解] （1） 由质点的运动方程，可得 x?2t y?2?t2消去参数t，可得轨道方程 y?2?1x2
??4 （2） 由速度、加速度定义式，有 v?dr/dt?2i?2tj a?d2r/dt2??2j
7-1
将t?2s 代入上两式，得 v?2i?4j a??2j
1-7 已知质点的运动学方程为x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r、c均为常量．试?、
求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式 [解] （1） 质点的运动方程 x?rcos?t y?rsin?t z?ct 由（1）、（2）消去参数t得 x2?y2?r2此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动．综上可知，质点绕z轴作螺旋线运动．
（2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间t求导数可得质点的速度vx?所以 v?vxi?vyj?vzk??r?sin?ti?r?cos?tj?ck 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
dx??r?sin?t dtd2yd2x2ax?2??r?cos?t ay?2??r?2sin?t az?0
dtdt所以 a?axi?ayj?azk??r?2cos?ti?r?2sin?tj
（3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式r?xi?yj?zk?rcos?ti?rsin?tj?ctk 1-8 质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处（向右为x
轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质．
[解] （1） 质点的加速度 a?dv/dt?4t 又 v?dx/dt 所以 dx?vdt 对上式两边积分，并考虑到初始条件得
?x?52dx??t8vdt???8?2t?dt
t28所以 x?8t?t3?457.3因而质点的运动学方程为 x??457.3?8t?（2） 将t?0代入速度表达式和运动学方程，得v0?8?2?02?8m/s
2323t 32x0??457.3?8?0??03??457.3m
3（3） 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为?457.3m.
1-9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x．物体在x?0处的速度为
10ms，求物体的速度与位置的关系． [解] 根据链式法则 a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxvdv?adx??2?6x?dx 对上式两边积分并考虑到初始条件，得
?v10vdv??0?2?6x?dx 故物体的速度与位置的关系为v?x6x2?4x?100 ms
1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a?g?Bv，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设t?0时物体的初速度为零．（1）试求物体的
速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? [解] （1） 由a?dvdv?dt 两边分别积分，得 得
g?Bvdt7-2
?dv?0g?Bvv?gdt 所以，物体的速率随时间变化的关系为：v?1?e?Bt 0B
t??（2） 当a?0时 有 a?g?Bv?0（或以t??代入） 由此得收尾速率 v?g B1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a??ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值．设y0处物体的速度为v0，试求速度v与y的函数关系． [解] 根据链式法则 a?dvdvdydv??vvdv?ady 对上式两边积分 dtdydtdy?vv0vdv??yy0ady??yy0?kydy即
12?v?v02???1k?y2?y02? 2222?ky0?y2 故速度v与y的函数关系为v2?v0??1-12 一艘正以速率v0匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与速度的平方成正比，即a??kv2， k为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时
速度的大小．
[解] 根据链式法则 a?两边积分
dvdvdxdvv dx?dv ??vdtdxdtdxa?0xdx??vv0vdv1vv 化简得 x??ln 所以 v?v0e?kx dv??v0?kvkv0al-13 一粒子沿抛物线轨道y?x2运动，且知vx?3ms．试求粒子在x?速度．
[解] 由粒子的轨道方程 y?x2对时间t求导数 vy?（1）
再对时间t求导数，并考虑到vx是恒量 a?把x?2m处的速度和加3dydx?2x?2xvx dtdtdvydt2?2vx （2）
22m代入式（1）得 vy?2??3?4ms 33222所以，粒子在x?m处的速度为v?vx?vx?32?42?5ms
3与x轴正方向之间的夹角 ??arctanvyvx?arctan4?5308? 3由式（2）得粒子在x?2 m处的加速度为a?2?32?18ms2加速度方向沿y轴的正方向．
31-14 一物体作斜抛运动，抛射角为?，初速度为v0，轨迹为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径．
7-3
[解] 物体在A点的速度设为vA，法向加速度为anA，曲率半径为?A，由题图显然有
2vA vA?v0cos? （1）anA=g （2）
?A联立上述三式得 ?A?anA（3）
2v0cos2??g物体B点的速度设为vB，法向加速度为anB，曲率半径为?B，由题图显然有vB?v0 （4）
anB?gcos? （5）
2vB?B2v0 ?anB （6）联立上述三式得 ?B?gcos?1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为300，求点A的切向加速度和该处的曲率半径． [解] 设A点处物体的切向加速度为at，法向加速度为an，曲率半径为?，则
0g?at?an由图知at??gsin300??0.5g又
an?gcos30?3g/2v2??an 所以
v2v223v2????
an3g3g/21-16 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律
12其中v0和b都是正常量．求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小． [解] 设bt，2dsv??v0?btdtdv?b时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度at，法向加速度an，则 at?所以，dtv2(v0?bt)2an??RR为s?v0t?(v0?bt)4 t时刻齿尖P的加速度为a?a?a?b?2R2t2n21-17 火车在曲率半径R＝400m的圆弧轨道上行驶．已知火车的切向加速度at?0.2ms2，求火车的瞬时速率为10ms时的法向加速度和加速度．
v2102??0.25ms2 方向指向曲率中心 [解] 火车的法向加速度 an?R4002火车的总加速度 a?an?at2?0.252?0.22?0.32ms2
设加速度a与速度v之间的夹角为?，则 ??arctanan0.25?arctan?51.340?51020? at0.27-4
1-18 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置??2?4t3．（1）在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?值
为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等? [解] 质点的角速度
??d??12t2 dt质点的线速度 v?R??0.10?12t2?1.2t2 质点的法向加速度an，切向加速度at为 an??2R?12t2??2?0.10?14.4t4 （1） at?dv ?2.4t （2）
dt2（1）把t?2s代入（1）式和（2）式，得此时
an?14.4?24?2.3?102m/s2at?2.4?2?4.8m/s
2（2）质点的总加速度a?an?at2?2.4t36t6?1
1a 得 2.4t?0.5?2.4t36t6?1 解得 t?0.66 s2所以 ??2?4t3?3.15rad
由 at?（3）当an?at即14.4t4?2.4t时有 t?0.55s
1-19 河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为v0．某人以相对水流不变的速率v垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程．
[解] 取图示坐标系 vx?ky 已知 y?代入上式得k?d时，vx?v0 22v02v所vx?0y （1）又 vy?v积分
dd2v得y?vt （2）代入（1）式得 vx?0vt积分得
dvv、（3）消去t得 x?0y2 x?0vt2 （3）由（2）
dvd第二章习题解答
2-3 质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入
沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv (1) 由牛顿第二定律
f?ma?mdvdv?kv??mdt 即 dt
vkvdvkdvkktln??t?t??dt??dtmmm对等式两边积分?v0vm?0得v0 所以 v 因此 v?v0e
7-5