[解]由冲量的定义
I??Fdtt2t1，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即
I??Fdtt2t1 (1) 从t＝0到 t=T，冲量的大小为:
I1??Fdt?0T?0TF0sinFT2?t2?tTdt?0[?cos]0T2?T=0
T2T2(2) 从t=0到 t=T/2，冲量的大小为
I2??Fdt??F0sin00FTTF2?t2?tT2dt?0[?cos]0?0T2?T?
v?ITF0?m?m
(3) 初速度v0?0，由冲量定理 I?mv?mv0 当 t=T/2时，质点的速度
mT2F02T2F02111222A?mv?mv0?mv??222222?m2?2m 又由动能定理，力F所作的功
(4) 质点的加速度
a?(F0/m)sin(2?t/T)，在t=0到t=T/2时间内，a>0，质点作初速度为
零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a<0，但v>0，故质
点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。
4-19 如图所示，将质量为 m的球，以速率v1射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中? [解] 设地球和弹簧枪的共同速度为v2，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速
度方向相同，故有mv1??m?M?v2 (1) 习题3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该
1212W?mv1??m?M?v222系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量 (2)联立以上两式得 11m22W?mv1??m?M?v22122?m?M?11m22?mv1?v1222m?M1m??mv12?1?2m?M?
2mM1v????2?m?M?
7-16
4-20 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。 [解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以r?v，由L?r??mv?知， L?rmv
v?Lrm 所以卫星的动能
11?L?1L22Ek?mv?m???22?rm?2r2m
2v2GMmFn?m?2rr选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得: 所以
1GMmEk?mv2?22rL2E?Ek?Ep??2mr2
,
GMmEp??r所以
L2Ep??2Ek??2mr所以
4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为L0，倔强系数为k。当t＝0时，弹簧长度为L0。滑块得一水平速度v0，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用
?角表示)。
[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即
12121mv0?mv?k(L?L0)2222 (1)
小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即
L?r?mv?恒量故
L0mv0?Lmvsin? (2)由(1)式得
2v?v0?k(L?L0)2m
??arcsin代入(2)式得
2Lv0?L0v0k(L?L0)2m
4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为1个原子
质量单位(记作1u)，石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为E0。 [解] 设中子质量为m1，碰撞前后速度分别为v1,v2；石墨原子质量为m2，碰撞后速度为v2。
?7-17
??碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有： m1v1?m1v1?m2v2
1112?2?m2v2?2m1v1?m1v122此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有： 2化简上两式，得：
???v111v1?0.85v113 碰撞过程中中子损
??12v2? v1?v12v1??v12?2?12v2可解出
1111121214822248?2?m1v1?E?m1v1?m1v1?mv1?m1v1?E0?0.28E022221692169169失的能量：
第五章习题解答
5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b．中心O取为原点，坐标系如图所示．设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为
JOx?111Mb2JOy?Ma2JOz?Ma2?b2121212
??[解] 根据转动惯量的定义 对Jox 取图示微元，有
J??r2dmy
Jox??11dmb2?mb2m1212
同理
Joy?1ma212对于
Joz??r2dm??(x2?y2)dm??x2dm??y2dm?Joy?Jox?11ma2?mb21212
5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动
惯量是多大?
[解] 建立坐标系，取图示面积元 ds?rdrd?，根据转动惯量的定义有
dr dm r 2mJox??ydm???rsin?rdrd?200?R2m?R3122?rsin?drd??mR4?R200
5-2-3 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图
2?RR 22?d?O x ??所示．求细棒对轴AA?的转动惯量．
[解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元，
?7-18
x d?dl dm??dl??Rd?，根据转动惯量的定义式有
JAA??x2dm????0R2sin2??Rd?
?mR2???0sin2?d??1mR22
y r x
5-2-4 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量． [解] 建立如图所示的坐标系，取一
????d?的球带，ds?2?rRd?它对y轴的转动惯量
?mdI?rdm?r2?rRd?24?R22 又
?r?Rcos?3所以
mRdI?c2232o?d?sI??dI????2mR2c2o?d?s?2mR23此
即空心球壳对直径轴的转动惯量．
5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B．（1）若测得这时齿轮的角速度为600
rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速
度和加速度是多大?
t?[解] （1） 齿轮由A转到B孔所需要的时间
2?500?1???600?2?3?105
c?所以光速
2L2?500??3?108ms1T3?105
?22v??R?600?2??5?10?1.88?10ms （2） 齿轮边缘上一点的线速度
2?252??a??R?600?2??5?10?7.10?10ms齿轮边缘上一点的加速度
25-3 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小．又过了5s后，飞轮停止转动．若
该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间?
[解] 分三个阶段进行分析 10 加速阶段．由题意知
?1??1t1 和 ?12?2?1?1 得
?12?1t1?1??2?12
20 匀速旋转阶段． ?2??1t2
7-19
?12?1t3?3??22?2 ???t0 ??2??333 133 3制动阶段．1由题意知 ?1??2??3?100?2?
?1t1联立得到
2??1t2??1t32?100?2?
2??100?t2?所以
200200?6??52?602?60?183s20060
因此转动的总时间 t?t1?t2?t3?6?5?183?194s
5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和
m2的物体，且m1>m2．设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，
绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体
的加速度和绳的张力．
[解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示
T1T2m2Nm1m1gMm2gT2MgT1对m1取向下为正方向： m1g?T1?m1a （1） 对m2取向上为正方向： T2?m2g?m2a （2）
??Tr?Tr?J? （3） 12M对取顺时针方向为正方向：
2又 J?Mr/2 （4）
a?r? （5） T1?T1? （6） T2?T2? （7）
a?联立（1）-（7）式，解得
(m1?m2)gm1?m2?M/2T1?
2m2?M/2m1gm1?m2?M/2
7-20