[解] 根据冲量定义
I??Fdt???30?4t?dt?30t?2t200tt
22I?30t?2t?30?2?2?2?68N?s 2(1)开始两秒钟此力的冲量
2(2) 当I?300N?s时30t?2t?300 解得 t?6.86s
(3) 当t?6.86s时，I?300N?s，根据动量定理I??p?mv?mv0
因此
v?I?mv0300?10?10??40msm10
4-7 质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程r?acos?ti?bsin?tj，试求：(1)质
点的动量；(2)从t＝0到
t?2??这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点
的动量是否守恒?为什么?
[解] 质点的速度
v?dr??a?sin?ti?b?co?stjdt (1)
(1) 质点的动量p?mv?m???asin?ti?bcos?tj?
(2) 由(1)式得t?0时，质点的速度v0?b?jt?2??时，质点的速度为
vt??a?sin2?i?b?cos2?j?b?j根据动量定理 I??p?mvt?mv0?0
dr??a?sin?ti?b?cos?tjdtdva???a?2cos?ti?bw2sin?tjdt22F?ma??ma?cos?ti?mbwsin?tj 解法二：
v?2?02?0I???Fdt????ma?2cos?ti?mbw2sin?tjdt?0??
(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。 4-8 如图所示，砂子从h＝0.8m处下落到以v0?3ms的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。
[解] 如图所示，设?t时间内落下的砂子的质量为?m，则
7-11
?m的动量改变
?p??m?v0?v1?显然有v1?2gh 习题2－19图由图可知
?p?根
??mv1?2???mv0?2据
动
量
定
2??mv12?v0
所
以
?mv0理
F?t??pF??p?m2?m22?v1?v0?2gh?v0?t?t?t2?mv1?p?100?2?9.8?0.8?3?497N
4-9 矿砂从传输带A落到另一传输带B，其速度大小为v1＝4ms，v2＝2ms方向如图所示。设传输带的运送量?m?t＝2000kgh，求矿砂作用在传输带B上的力的大小和方向。
[解] 取?t时间内落下的矿砂?m为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为
?px???mv2cos?2??mv1sin?1??m?v1sin?1?v2cos?2?
?py??mv2sin?2??mv1cos?1??m?v1cos?1?v2sin?2?
F?t??py根据动量定理 F?t??p Fx?t??px y
所以
Fx???px?m?v1sin?1?v2cos?2??20004sin300?2cos150?3.79?10?2N??t?t3600
???m?v2sin?2?v1cos?1??20002sin150?4cos300?2.21N?t?t3600故矿砂作用在传输带B上的力Fy??py??F?Fx2?Fy2?2.112?3.79?10?3??2?2.1N与竖
y直方向的夹角
Fx3.79?10?3??arctg?arctg?10Fy2.11
x004-10 如图所示，浮吊的质量M＝20t，从岸上吊起m=2t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角?由60转到30，
0设杆长l=8m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。
7-12
MaMx习题3-20图
Obmymx?=600x?=300[解法一] 取吊车和重物组成的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，因此?在由60转到30时，质心的位置不变。取质心为坐标原点，如图所示。设在?在由60转到30时吊车在水平方向上移动的距离为x，重物在水平方向上移动的距离为y，则
0000?=600时 Ma-mb=0 a+b=lsin600
?=300时M(a-x)-m(b-y)=0 (a-x)+ (b-y)=lsin300
mlsin600?sin3002?8sin600?sin300x???0.266mM?m20?2联立上述四式得
[解法二] 以岸边为参考系，选如图坐标系，因水的阻力不计，因此浮吊在x方向动量守恒。
该M以V向岸边靠拢，m相对M以u向左运动，相对岸边的速度为u-V。 吊杆转动角度?前后，在水平方向动量守恒， 0?MV?m?u?V? 即
????V?muM?m依题
t?x2u
意，m在水平方向相对浮吊移动的距离为x2?lcos30?cos60?2.93m经历时间
?00?在t时间内，M在x方向移动的距离为
x1?Vt?xm2?2.93u?2??0.266mM?mu20?2
4-11 某人造地球卫星的质量为m＝l802kg，在离地面2100km的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径
R地?6.40?106m)。
G[解] 设卫星的速度为v，地球的质量为M，则
Mm?R地?h?2
v2?mR地?h (1)
G又 卫
星
M?gR地对
v? (2)联立两式得 地
的
角
动
gR地R地?h量
L?m?R地?h??v?mg?R地?h??地7-13
?18029.8?6.40?106?2.10?106?6.40?106?1.05?1014kg?m2s
4-12 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d，求月球对地球中心的角动量及面积速度(
??m月?7.35?1022kg，轨道半径R=3.84?10m)。
8[解] 设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则v?2?R/T
2?RT
7.35?1022?(3.84?108)2?2?3.14?342?2.89?10kg?m/s 27.3?24?3600 L?m月Rv?m月月球的面积速度为
v面??R2/T?1.96?1011m2/s
6??4.13?10rads在半径r?5.3?10?10m的圆形轨道上4-13 氢原子中的电子以角速度
?34绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h表示之(h?6.63?10电
子
的
轨
道
角
J?s)。 [解]
量
动
L?mr2??9.1?10?31?5.3?10?10??2?4.13?106?1.06?10?42?1.6?10?9J?s
4112.93?10ms。1.52?104-14 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为m，轨道速度为
116个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为1.47?10m。求：(1)在近日点地球的轨道速度； (2)两种情况下地球的角速度。 [解] 设在近日点附近地球的轨道速度为v1，轨道半径为
r1，角速度为?1；在远日点地球的轨道速度为v2，轨道半径为r2，角速度为?2。 (1) 取地
球为研究对象，其对太阳中心的角动量守
m地r1v1?m地r2v2所以
r2v21.52?1011?2.93?1044v1???3.03?10msr11.47?1011
v22.93?104v13.03?104?7?7?1???2.06?10rads????1.93?10rads21111rr1.47?101.53?1012(2)
10r?8.75?10m，14-15 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是
42其时它的速率为v1?5.46?10ms；它离太阳最远时的速率是v2?9.08?10ms，这时它
离太阳的距离r2是多少。
[解] 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒 mr1v1?mr2v2
7-14
r1v18.75?1010?5.46?10412r2???5.26?10m2v9.08?102由此得到
4-16 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地
球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离为439km，与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1kms，求它在远地点的速率是多大?
[解] 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即 L1?L2 由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有mv1?R?l1??mv2?R?l2?
R?l16378?103?439?1033v2?v1?8.1?10??6.30kms33R?l6378?10?2384?102得到
4-17 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10ms。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大?
[解] 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒
(1) 设两人质量均为m，到转轴的距离为r1，握住手以后绕中心角速度为?1，系统对转轴的
222rmv?rmv?J?JJ?mr?mr?2mr111111111转动惯量为，则有： (1) 又
(2)
联立（1），(2)式得
?1?v/r1?10/0.75?13.3rad/ s
(2) 设两人相距1.0米时，角速度为?2，此时系统对转轴的转动惯量为J2，两人到转轴的
距离为
r2，则
J1?1?J2?2 (3) J2?mr22?mr22?2mr22 (4)
2222又联立(2)-(4)式得?2?r1?1/r2?0.75?13.3/0.5?29.9rad/s
本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。
4-18 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知
F?F0sin2?tT，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)
在0到T2时间内，力F冲量的大小；(3)在0到T2时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。
7-15