[解] （1） 在1→m→2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功． A1??p2?V1?V2???20??50?10??1.013?105?10?3??8.10?104J
由气体的内能公式E??CVT和理想气体的状态方程pV??RT得
iRpVpVCV2?ipV E??CV???RRR2对于氧气i?5，所以其内能的变化为
55?E1??p2V2?p1V1????20?10?5?50??1.013?105?10?3??1.27?104J
22pV此过程吸收的热量为 Q1??E1?A1??1.27?104?8.10?104??9.37?104J （2）在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为
A2??1?p2?p1??V1?V2???1??20?5???50?10??1.013?105?10?3??5.07?104J 22内能的变化?E2??E1??1.27?104J
吸收的热量 Q2??E2?A2??1.27?104?5.07?104??6.34?104J
5 10mol单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J，其温度上升1K，试求：（1）气
体吸收的热量与内能的增量．（2） 此过程中气体的摩尔热容量．
3?8.31?1?124.65J 2465?209??84.35J 气体吸收的热量 Q??E?A?12.[解] （1） 内能的增量为 ?E??CV?T?10?（2） 由气体摩尔热容量知 C?1Q1????84.35???8.44J?mol?K? ??T106 将压强为1atm，体积为1?10?3m3的氧气（CV?5R2）从0℃加热到100℃．试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量． [解] 由理想气体状态方程 pV??RT ??在等容过程中吸收的热量为
pVp0V ?RTRT0p0V0551.013?105?1?10?3R?T???100?92.77J QV??CV?T?RT022273在等压过程中吸收的热量为 Qp??Cp?T??777R?T?QV??92.77?129.88J 2557 已知氩气的定体（积）比热为cV?314J?kg?K?，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量．（定体（积）摩尔热容CV?MmolcV）．
7-31
3RCV2i3[解] 由定容摩尔热容量的定义知CV?R?R因此 Mmol? ?cVcV22氩原子的质量为 m?MmolNA3R38.31?262????6.59?10kg
NAcV26.02?1023?3148 为测定气体的?（?CpCV）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为T0、V0和p0，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积V0不变，而温度和压强变为T1和p1．第二次保持压强p0不变，而温度和体积变为T2和V1．试证明 ???p1?p0?V0?V1?V0?p0
[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为Q1??CV?T1?T0? 等压过程吸收的热量为Q2??Cp?T2?T0?
由
Q1?Q2可得
?CV?T1?T0???Cp?T2?T0?
所以 ??CpCV?T1?T0由理想气体状态方程 p0V0??RT0 p1V0??RT1
T2?T0p0V1??RT2
因此 T1?T0??p?p0?V0p1?p0V?V0 V0 T2?T0?1p0所以得到 ??1??V?Vp?R?R1009 已知1mol固体的状态方程为v?v0?aT?bp，内能E?cT?apT，式中v0、a、b、c均为常量，求该固体的Cp、CV．
[解] 由热力学第一定律可得 dQ?dE?dA?dE?pdV （1）
由已知条件可得 dV?adT?bdp （2） dE?cdT?aTdp?apdT （3） 将（2）、（3）代入（1）得 dQ?cdT?aTdp?apdT?p?adT?bdp? （4） 在等压过程中，dp?0所以dQ??c?2ap?dT因此 Cp?dQ?c?2ap dTab在等容过程中 dV?0代入（2）式得 adT?bdp?0 因此 dp??dT
?a2T??a??a???代入（4）式得 dQ?cdT?aT???dT?apdT?p??adT?b??b?dT?????c?ap?b??dT b????????7-32
dQa2T?c?ap?所以 CV? dTba10 已知范德瓦尔斯气体的内能E?CVT??E0．其中CV、a、E0为常数，试证明其绝
V热过程方程为T?V?b?RCV?常数
???V?b??RT （1） ?a?[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为 ?p?2V?又由已知条件可得 dE?CVdT?adV （2） 2V绝热过程 dQ?0，由热力学第一定律得 dE??dA??pdV （3）
aRTadV??pdVp??（4）由（1）式得 （5）
V?bV2V2aaRTdV 将（5）代入（4）式有 CVdT?2dV?2dV?V?bVVCV1整理得积分得 dT??dVRTV?bCV即 lnT?ln?V?b??常数R有（2）、（3）式可得 CVdT??V?b?TCVR?常数,这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方
1程．
11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率．
[解] （1） 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为S??p2?p1??V4?V1???10?5???5?1??105?10?3?2.0?103J 该循环对外作功为正，所以 A?2.0?103J
（2） 该循环过程中，从1→2，2→3为吸收热量过程 1→2
为等容过程，吸收热量为Q1??CV?T2?T1??5?p2V2?p1V1?25???10?1?5?1??105?10?3?1.25?103J 22→3为等压过程，吸收热量为Q2??Cp?T3?T2??7?p3V3?p2V2? 27???10?5?10?1??105?10?3?1.4?104J 2因此吸收的总热量为 Q?Q1?Q2?1.525?104J
A2.0?103该循环的效率为 ????100%?13.1%
Q1.525?1047-33
12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为?T1,V1?，点b的状态参量为?T2,V2?，理想气体的热容比为?，求（1）气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c的状态参量；（3）循环的效率． [解] （1） ab过程是等温过程，系统吸收热量为
QT?A??RT1lnV2 因V2?V1，故该过程是吸热过程． V1bc过程是等容过程，系统吸收热量为 QV??CV?Tc?T2?因 Tc<
T2，故该过程是放热过程．
（2） 从图上可看到 Vc?V2
?V1?又 ac为绝热过程，故根据绝热方程 Tc???V???c????1?V1?T1???V???2????1T1
??1又有 pcVc??V1??V1??RT1?RT1?V1?????p1V1 得到 pc?p1???V??V??V?V??V??12?2??2??2?QV?C?T?TC?CT??V1V2??1?V2?1?V2VVQT?RT1ln2RT1ln2V1V1
（3） ??1????1????1??T1C1??V1V2?? ?1??V?V2?R?ln??V1???13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab、cd为绝热线，bc为等体（积）线，da为等压线，试证明其效率为??1??Td?Ta
Tc?Tb式中Ta、Tb、Tc、Td分别为a、b、c、d各状态的温度，
??CpCV．
[证明] da为放热过程，其放出的热量为Q2??Cp?Td?Ta? bc为吸热过程，其吸收的热量为 Q1??CV?Tc?Tb? 所以其效率为 ??1??Cp?Td?Ta?T?TaQ2 ?1??1??dQ1?CV?Tc?Tb?Tc?Tb14 如图所示，AB、DC为绝热线，COA是等温线． 已知系统在COA过程中放热100J，
OAB的面积是30J，ODC的面积为 70J，试问在BOD过程中系统是吸热还是放热?热量是
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多少?
[解] 因COA是等温线，COA过程中ACA?QCA??100J 又因AB、DC为绝热线，?EAB??AAB ?EDC??ADC OAB过程系统作负功，ODC过程系统作正功，整个循环过程系统作功 AAB?ABD?ADC?ACA?70?30 BOD过程中系统吸热
Q?ABD??EBD?140??EAB??EDC??EBD?140?EC?EA
由于COA是等温过程，过程中系统内能变化为零，即 EC?EA?0 因此BOD过程中系统吸热 Q?140J
15 一制冷机进行如图所示的循环过程，其中ab、cd分别是温度为T1、T2的等温线，bc、da为等压过程，设工作物质为理想气体．证明这制冷机制冷系数为：
??T1i?2?
pT2?T12ln2p1 [证明] ab为等温过程，吸收热量为Q1?A1??RT1lnp2 p1cd 为等温过程，其放出的热量大小为
Q2?A2??RT2lnp2 p1bc为等压过程，吸收的热量为 Q3??Cp?T2?T1? da为等压过程，放出的热量大小为 Q4??Cp?T2?T1? 所以致冷系数 ??Q吸A?Q吸Q放?Q吸?Q1?Q3T1i?2??
p?Q2?Q4???Q1?Q3?T2?T12ln2p116 1mol单原子理想气体，初态压强为p1，体积为V1，经等温膨胀使体积增加一倍，然后保持压强不变，使其压缩到原来的体积，最后保持体积不变，使其回到初态． （1）试在p?V图上画出过程曲线； （2）求在整个过程中内能的改变，系统对外作的净功、从外界吸收的净热量以及循环效率． [解] （1） 过程曲线
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