T2?2m1?M/2m2gm1?m2?M/2
5-5 提示::第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理
5-6 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900rmin的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动．求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的
1mR2摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为2，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径）． 1J?mR2?2?0 2[解] 根据角动量定理， Mt?J?2?J?1 M???NR
mR?0?2Nt50?12??900?260?0.52?200?11.8
联立上述四式得到
??5-7 一飞船以角速度??0.20rads绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量
J?2000kg?m2．若宇航员想停止这种转动，启动了两个控
制火箭．它们装在距转轴r?1.5m的位置．若控制火箭以
v=50 ms的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率dmdt?2kgs．试问这两个切向火箭需要开动多长时间?
[解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统．在喷气过程中，dt时间内喷出的气体为dm，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为
Lg?dmrv?mrv0?m 当飞船停止转动时，它的角动量为零．
?J?所以 由系统角动量守恒得 mrvm?J?rv
所求的时间为
t?m??J?2000?0.2??2.67s?rv2?1.5?50
5-8 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度?旋转，对地板的压力为F，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为?，试求开动擦地板机所需的功率（提示：
先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率）． [解] 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为dr，则其面积为ds?2?rdr
7-21
df???此面积元受到的摩擦力为
F?2?rdr2??D2?向
与
所以此面元所受的摩擦力矩为 方
向
相
反
其
大
小
dM?r?df 其方
ω8?F24F?2?rdr?rdr?D2D2
又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为dM?rdfsin??rdf?r??M??dM??D208?F211rdr??FDN?M???FD?3D23所以所需要的功率
5-9 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连
2J?10kg?m1结．轮A的转动惯量，开始时轮B静止，
轮A以n1?600rmin的转速转动，然后使A与B连结，轮B得以加速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于
n?200rmin为止．求：（1）轮B的转动惯量；（2）在
啮合过程中损失的机械能是多少?
[解] （1）以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有
JA?A?JB?B??JA?JB??而
JA?J1?10kg?m2?A?2?n1?20?rad/s20?3?10?20kg?m2
?B?0??2?n?20?rads3所以
JB??A??J1??20??20?32?JA?JB??2JA?A?E??22在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为
?0.5?10??20???0.5??10?20???20?/3??1.31?104J
22第七章相关 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同.
1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，求此真空度下习题
1cm3体积内有多少个分子?（设温度为27℃） [解] 由理想气体状态方程 p?nkT得
p?NkT， VpV1.33?10?11?1?10?6??3.21?103cm3 故 N??23kT1.38?10?3007-22
2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线． （1）已知气体在状态A时的温度是（2）将上述状TA?300K，求气体在B、C、D时的温度．
态变化过程在 V?T图（T为横轴）中画出来，并标出状
态变化的方向． [解] （1）由理想气体状态方程
VVpV?恒量，可得A→B这一等压过程中A?B则
TATBTTB?VB20?TA??300?600K 因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则 VA10为等压过程，则
TC?TB?600 K C→D
VDVC? TDTCTD?VD20?TC??600?300K VC40VL40C3020DB100A300600（2）
TK
3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是v0，求：（1）两部分的分子数密度和压强各是多少?（2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少? [解] （1）分子数密度n1?N1N?21V1Vn2?N2N1?22 由压强公式： p?nmv2 V2V3222mN1v02mN2v01122可得两部分气体的压强为 p1?n1mv0? p2?n2mv0?
33V33VNN?N2（2） 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 n??1 混合后的气体，
VV由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：
?N1?N2?mv0212p?nmv?
33V4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强． [解] 由 p?nkT
7-23
N1?N2?N33.3?10?7?6.02?1023?9.933?1016 N3?n?2VN1?N2?N31?1015?4?1015?99.33?1015kT??1.38?10?23?433?0.25Pa 则 p??3V2.5?105 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J．(作业7-3)
（1）试求气体的压强．（2）设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度． [解] （1）理想气体的内能 E?N?kT （1） 理想气体的压强p?nkT?（2）
i2NkT V2E2?6.75?102??1.35?105Pa 由（1）、（2）两式可得 p??35V5?2?102E2?6.75?102i??362K （2）由 E?N?kT 则 T?5kN5?1.38?10?23?5.4?1022233又 w?kT??1.38?10?23?362?7.5?10?21J
226 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为
5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子? 这些分子的总平动动能是多少? 总
转动动能是多少? 总动能是多少? [解] 由理想气体状态方程p?NkT得VpV5?10?6?1.013?105?10?10?612N???1.61?10个总平均动能
kT760?1.38?10?23?300pV33335?10?6?1.013?105Et?NkT??kT?pV???10?10?6?1?10?8J
2kT222760将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为：
pV25?10?6?1.013?105?6Er?NkT?kT?pV??10?10?0.666?10?8J
2kT760总动能 Ek?Et?Er?1.666?10?8J
7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试求：
（1）质子的平均动能是多少电子伏? （2）质子的方均根速率是多少? [解] 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能
33E?kT??1.38?10?23?108/1.602?10?19?1.29?104eV
22质子的方均根速率为：
3kT3?1.38?10?23?108v???1.57?106ms ?27mp1.673?102p8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强p?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求：（1）气体分子的方均根速率；（2）气体的摩尔质量，是何种气体?（3）气体分子的平均平动动能
7-24
和转动动能；
（4）单位体积内气体分子的总平动动能；（5）气体的内能．设该气体有0.3mol．(作业7-5)
[解]（1）由 pV??RT 所以
3p3kT3?1.00?10?3?1.013?105v????493?3m?1.25?102ms（2）气体的摩尔质量Mmol?N0m?N0?kTp
1.25?10?3?1.38?10?23?273?6.02?10??0.028kgmol所以该气体是N2或CO ?351.00?10?1.013?1023（3）气体分子的平均平动动能 ??气体分子的转动动能 ?2?（
4
）
单
位
33kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J 222kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J 2积
内
气
体
分
子
的
总
平
动
动
能
体
p333?kT?p??1.00?10?3?1.013?105?1.52?102Jm3 kT222i5（5）该气体的内能 E?0.3Emol?0.3?RT?0.3??8.31?273?1.70?103J
22E?n?1?9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界
没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子． [解] 由能量守恒定律知又因 ?Ek?1Mv2??Ek2
MiM5R?T?R?T
Mmol2Mmol2Mmol2mv23.35?10?27?4?104v???1.94K 所以 ?T?5R5k5?1.38?10?23NMk?T50?10?3?1.38?10?23?1.94N??4.0?104Pa 由 p?kT ?p?k??T??27?3VmV3.35?10?10?10V10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）?
1[解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和mol氧气．设温度为T，
26511mol水蒸气的内能 E1?RT?3RT 1mol氢气的内能 E2?RTmol氧气的内
2221553能E3??RT?RT所以 ?E?E2?E3?E1?RT
2244所以内能增加的百分比为
?E?100%?25% E17-25