线面、面面平行的判定与性质
基础巩固强化
1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是( ) ．．
A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l [答案] D
[解析] A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．
(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D
[解析] A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
[答案] D
[解析] 选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．
(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案] D
[解析] 对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D.
3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( )
A．若α∥β，l?α，则l∥β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β [答案] C
[解析] 对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C. 4．(2011·广东揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与a异面
B．α内与a平行的直线不存在 C．α内存在唯一的直线与a平行 D．α内的直线与a都相交 [答案] B
[解析] 由条件知a与α相交，故在平面α内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线．
5．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m、n，其中m2＋n2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )
1A.2 3C.3 [答案] D
[解析] 令m＝n，由m2＋n2＝6得m＝n＝3，取AB的中点E，21010
则BE＝2，PB＝3，∴PE＝2，CE＝2，∴EF＝2，
11122123
∴VP－ABC＝3S△PEC·AB＝3×(2×2×2)×2＝3，∵3>2，∴3>3，283
3>27，故选D.
83B.27 2D.3
6．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是( )
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a?α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a
∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 [答案] D
[解析] 三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD
－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．
7．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β. 其中正确命题的序号为________． [答案] ②
[解析] ①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．
8．(2011·福建文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．